Formaasje, Fuortset ûnderwiis en skoallen
De dêrfan ôflaat fan de sinus werom fan 'e hoeke is gelyk oan de kosinus y fan deselde hoeke
Dana simpel trigonometry funksje y = Sin (x), is differentiable by elk punt fan de folsleine domein. Wy moatte bewize dat it dêrfan ôflaat fan de sinus werom fan in argumint is gelyk oan de kosinus y fan deselde hoeke, dat wol sizze, '= Cos (x).
It bewiis is basearre op de definysje fan in derivative funksje
Wy definiearje x (willekeurige) yn guon lytse buert fan in bepaald punt x Δh 0. Wy sille sjen litte de funksje wearde dêryn, en op it punt x te finen de increment fan in opjûne funksje. As Δh - increment fan it argumint, dan in nij argumint - It x 0 + Δx = x, de wearde fan dizze funksje foar in opjûne wearde fan it argumint y (x) is lyk oan SIN (x 0 + Δx), de wearde fan 'e funksje op in bepaald punt (x 0) is ek bekend .
No we hawwe Δu = Sin (x 0 + Δh) -Sin (x 0) - helle increment funksje.
Neffens de formule fan sine bedrach fan twa 'e ûngelikense Angelen wy sille omsette it ferskil Δu.
Δu = Sin (x 0) · Cos (Δh) + Cos (x 0) · Sin (Δx) minus Sin (x 0) = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x 0) + Cos (x 0) · Sin (Δh).
Performed permutation termen groepearre earst nei tredde Sin (x 0), nommen út it mienskiplike faktor - sine - de heakjes. Wy krigen yn 'e útdrukking Cos difference (Δh) -1. It liet te feroarjen it teken foar de parenthesis en heakjes. Witten wat de 1-Cos (Δh), meitsje wy de feroaring en krije in ferienfâldige ekspresje Δu, dat wurdt dan dield troch Δh.
Δu / Δh sil hawwe it formulier: Cos (x 0) · Sin (Δh) / Δh 2 · Sin 2 (0.5 x Δh) · Sin (x 0) / Δh. Dit is de ferhâlding fan it increment fan de funksje oan de talitting ta de increment fan it argumint.
It bliuwt te finen op de grins fan 'e ferhâldingen krigen troch ús ûnder lim Δh, fersoargje te nul.
It is bekend dat de limyt Sin (Δh) / Δx is lyk oan 1, ûnder de betingst. En de útdrukking 2 · Sin 2 (0.5 x Δh) / Δh yn de resultearjende som bysûndere transformaasjes oan produkt befettet as earste multiplier opmerklike limyt: de numerator fan 'e fraksje en znemenatel divide troch 2, it plein fan de sinus werom ferfange produkt. Hjir is hoe:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
De limyt fan dizze útdrukking doe't Δh benaderjen liedt ta nul, sil gelyk wêze oan it oantal nul (0 fermannichfâldige by 1). It docht bliken dat de grins fan 'e ferhâlding Δy / Δh is Cos (x 0) · 1-0, dit is Cos (x 0), de útdrukking fan dat ûnôfhinklik fan Δh fersoargje oan 0. De konklúzje: de dêrfan ôflaat fan de sinus werom fan in hoeke is gelyk oan x kosinus y werom fan x, kin skreaun wurde as: y '= Cos (x).
It gefolch formule wurdt oanjûn yn de tabel fan de bekende derivaten, dêr't al de elemintêre funksjes
It oplossen fan problemen, dêr't er moetet de dêrfan ôflaat fan de sinus werom, kinne jo gebrûk meitsje fan de regels fan differinsjaasje en ready-made formules fan 'e tafel. Bygelyks: fine de dêrfan ôflaat fan it simpelste funksje y = 3 · Sin (x) -15. Wy brûke de elemintêre ôflieding regels removal numerike faktor foar it teken fan 'e derivative en berekkene de derivative konstante nûmer (dat is nul). Tapasse in sine tafel wearde fan 'e dêrfan ôflaat fan' e hoeke x gelikense Cos (x). Ûntfange it antwurd: y '= 3 · Cos (x) -O. Dit derivative, syn bar, is ek in legere funksje y = H · Cos (x).
It derivative fan sine kwadraat fan hokker argumint
Yn de berekkening fan 'e útdrukking (Sin 2 (x))' moatte betinke hoe't differinsearre kompleks funksje. Dus, 2 = Sin (x) - is in macht funksje as sinus squared. Syn argumint is ek in trigonometric funksje, in kompleks argumint. It resultaat yn dit gefal is gelyk oan it produkt fan 'e earste multiplier is in plein fan' e komplekse dêrfan ôflaat fan it argumint, en de twadde - it dêrfan ôflaat fan de sinus werom. Hjir is de regel foar differentiating in funksje fan in funksje: (u (v (x))) 'is (u (v (x)))' · (v (x)) '. Utering fan v (x) - in kompleks argumint (ynterne funksje). As de jûn funksje "y is lyk oan de sinus werom squared x", dan it Afgeleide fan dit gearstalde funksje is y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). It produkt fan de earste multiplier ferdûbele - derivative bekend Joast fan de Vondel, en Cos (x) - derivative sinus kompleks argumint fan de kwadratyske funksje. De úteinlike resultaat kin wurde omfoarme troch mei de formule fan de trigonometric sinus y fan 'e dûbele hoeke. A: It derivative is Sin (2 · x). Dit formule is maklik om te ûnthâlden, dat wurdt faak brûkt as in tafel.
Similar articles
Trending Now