Boolean algebra. algebra fan 'e logika. Eleminten fan de wiskundige logika

Yn de hjoeddeiske wrâld wy hieltyd mear mei help fan in ferskaat oan masines en gadgets. En net allinne as is it nedich om te passen letterlik boppeminsklike krêft: bewegen fan de lading te opheffe it oan 'e hichte, dig lang en djippe geul, ensfh Cars hjoed sammelje robots, iten wurdt gekookt Multivarki en elementary arithmetic berekkenings produsearje rekkenmasines ... Hieltyd faker wy hearre de wurden "Boolean algebra". Miskien is de tiid is kommen om te ferstean de rol fan 'e minske yn' e oprjochting fan robots en masjines de mooglikheid te lossen net allinne wiskundige, mar ek logyske problemen.

logika

Yn Grykske logika - in oardere systeem fan tinken dat skept de relaasje tusken de opjûne betingsten en makket it mooglik om inferences basearre op oannames en skattings. Hiel faak, wy freegje inoar: "It is logysk om" It antwurd befêstiget ús útgongspunten of criticizes de trein fan it tinken. Mar it proses net stopje dêr: Wy bliuwe te praten.

Soms it oantal betingsten (input) is sa grut, en de relaasje tusken harren is sa betiizjend en kompleks dat it minsklik brein is net by steat om "digest" alles yn ien kear. Jo kinne moatte mear as ien moanne (e wike, year) foar it begripen fan wat der bart. Mar moderne libben net jouwe ús dizze tiid yntervallen om besluten. En wy taflecht ta de help fan kompjûters. En it is hjir dat der in algebra en logika, mei syn wetten en eigenskippen. Nei it opheljen allegearre fan 'e orizjinele gegevens, wy stean' e kompjûter te erkennen alle relaasjes, te elimineren tsjinstellingen en te finen in befredigjend oplossing.

Wiskunde en logika

Famous Gotfrid vilgelm Leybnits formulearre it begryp "wiskundige logika", hokker taken wienen maklik te begripen mar in lytse rûnte fan learden. Fan bysûnder belang is de rjochting net feroarsaakje, en oan 'e midden fan de XIX ieu fan wiskundige logika bekend troch pear.

De grutte belangstelling foar de wittenskiplike mienskip hat feroarsake in skeel dêr't de Ingelsman Dzhordzh Bul ferklearre syn bedoeling om in tûke fan de wiskunde, net hawwende absoluut gjin praktyske gebrûk. As wy witte út de skiednis, op dit stuit aktyf ûntwikkeljen yndustriële produksje, wy ûntwikkele allerhanne helptiidwurd masines, t. E. Alle wittenskiplike ûntdekkingen hawwe hie in praktyske oriïntaasje.

Looking foarút, wy sizze dat in Boolean algebra - it meast brûkt yn 'e wrâld hjoed part fan wiskunde. Dus dyn betooch Buhl ferlear.

Dzhordzh Bul

De persoanlikheid fan de skriuwer fertsjinnet spesjale oandacht. Ek sjoen it feit dat yn it ferline minsken groeide op foar ús, noch hjir moat opmurken wurde dat yn de 16 jier fan Johannes. Buhl learde oan de doarpsskoalle, en oant 20 jier iepene syn eigen skoalle yn Lincoln. Wiskundige perfect mastered fiif frjemde talen, en yn syn frije tiid, wie it lêzen fan de wurken fan Newton en Lagrange. En dit alles - op in gewoane arbeider syn soan!

Yn 1839, Buhl stjoerde syn earste wittenskiplike artikels yn de Cambridge Mathematical Journal. Scientist draaide 24 jier. Boole syn wurk is sa ynteressearre leden fan de Royal Society, yn 1844 krige hy in medalje foar syn bydrage oan de ûntwikkeling fan de wiskundige analyse. In pear publisearre artikels dêr't de eleminten fan de wiskundige logika, wiskunde tastien de jonge te nimmen de post fan heechlearaar yn de kolleezje fan Cork County waarden beskreaun. Bring dy by de hiel Boole ûnderwiis wie net.

idee

Yn prinsipe, Boolean algebra is hiel simpel. Der binne útspraken (logyske útdrukkings) dat, út it eachpunt fan de wiskunde, kin allinne definiearre wurde yn twa wurden: "true" of "false". Bygelyks, beammen yn de maitiid bloei - de wierheid, yn de simmer it snijt - in leagen. De skientme fan de wiskunde is dat it net perfoarst nedich is om te brûken allinnich nûmers. Foar de algebra oardielen hiel passe gjin útspraken mei unike betsjutting.

Sa, de algebra fan logika kin brûkt wurde letterlik oeral: yn 'e roastering en skriuwen ynstruksjetaal, analyze fan tsjinstridige ynformaasje oer de eveneminten en de fêststelling fan' e folchoarder fan aksjes. De meast wichtige ding - te realisearje dat it docht der net ta hoe't wy bepale de wierheid of falskens fan stellings. Ut dizze "hoe" en "wêrom" jo moatte negearje. Giet it derom mar in útspraak fan feit: de wierheid is in leagen.

Fansels, in adres yn fan de meast wichtige funksjes fan de algebra fan logika dy't opnommen mei passende buorden en symboalen. En leare se - it betsjut om te learen fan in nije frjemde taal. Neat is ûnmooglik.

Basis begripen en definysjes

Sûnder hy yn djipte, wy omgean mei terminology. Dus, Boolean algebra ferûnderstelt:

• útspraken;
• logyske operaasjes;
• funksjes en wetten.

Útspraken - eltse affirmative útdrukking dat kin útlein twa-wurdearre. Se binne skreaun as nûmers (5> 3) of formulearre bekende wurden (oaljefant - de grutste mammal). Yn dit gefal, mei de wurden "it Giraffe syn hals is net" hat ek in rjocht om te bestean, allinne Boolean algebra define soe as "in leagen."

Alle útspraken moatte wêze unambiguous, mar se kin Basic of gearsetting. Resinte gebrûk logyske bondel. E. Yn 'e algebra útspraken oardielen COMPOUND foarme troch tafoeging fan legere logika operaasjes.

Boolean algebra operaasjes

Wy al wit noch dat de operaasjes yn 'e algebra fan oardielen - logysk. Krekt as de algebra fan nûmers mei help fan de rekkenkunde operaasjes te foegjen, subtract, of ferlykje nûmers, wiskundige logika eleminten tastean om yngewikkelde útspraken, te wegerjen of te berekkenjen it úteinlike resultaat.

Logika operaasjes foar de formalization en ienfâld ta utering brocht troch de formule, bekend foar ús yn rekkenjen. Eigenskippen fan Boolean algebra fergelikingen meitsje it mooglik om te registrearjen en berekkene it ûnbekende. Logyske operaasjes wurde meastal fêstlein troch de wierheid tafel. Har eleminten definiearje kollums en Computing wurking dat wurdt útfierd op harren, en de rigen toane it resultaat fan berekkenings.

Basis logika fan aksje

De meast foarkommende yn de Boolean algebra aksjes binne negaasje (NET), en it logysk AND en OR. Sa is it mooglik om te beskriuwen praktysk alle stappen yn algebra oardielen. Wy studearre yn detail elk fan 'e trije operaasjes.

De ûntkenning (net) wurdt tapast om mar ien elemint (operand). Dêrom, de operaasje hjit in unary ûntkenning. Om opnimme it begryp "net A" mei help fan sokke symbols: ¬A, À of in !. Yn tabular foarm It sjocht der sa út:

De funksje fan leagenjen typysk fan sa'n útspraak: as A is wier, dan A - is falsk. Bygelyks, de moanne draait om de Ierde - de wierheid; Ierde draait om de moanne - in leagen.

Logyske fermannichfâldigjen en addition

Logysk EN operaasje hjit in konjunksje. Wat moat dat wurde? Foarste plak, dat it kin tapast wurde om twa operands, dat wol sizze, ik - .. Binary operaasje. Twads, it is allinnich yn it gefal fan 'e wierheid fan beide operands (sawol A en B) is wier en de útdrukking sels. It sprekwurd, "Patience en in bytsje muoite" ymplisearret dat mar twa faktoaren kinne helpe in persoan omgaan met 'e swierrichheden.

symboalen wurde brûkt foar opname: A∧B, A⋅B of A && B.

Bynwurd is ek te fermannichfâldigjen yn rekkenjen. Soms en sis - logyske multiplication. As jo fermannichfâldigje de eleminten fan 'e rigen fan' e tafel, wy krije in resultaat te ferlykjen mei logyske tinken.

Disjunction is in logysk OR eksploitaasje. It is Wier as op syn minst ien fan 'e útspraken is wier (of A of B). It is skreaun as dit: A∨B, A + B of A || B. de wierheid tafel foar dizze aksjes binne:

Disjunction ek rekkenboek addition. logyske addition operaasje hat mar ien beheining: 1 + 1 = 1. Mar wy betinke dat yn in digitale formaat wurdt beheind ta wiskundich logika 0 en 1 (dêr't 1 - de wierheid, 0 - false). Bygelyks, de stelling "yn it museum sjogge jo in masterwurk of fyn in goede selskip" betsjut wat kinst sjen keunstwurken, en it is mooglik om te foldwaan in nijsgjirrich persoan. Tagelyk, net hearskje út de mooglikheid om lyktidige ferfolling fan beide eveneminten.

Funksjes en wetten

Sa, wy al witte wat de logyske operaasje mei help Boolean algebra. Funksjes beskriuwe al de eigenskippen fan de eleminten fan de wiskundige logika, en stean ús te ferienfâldigjen komplekse gearstalde útspraken. De meast dúdlik en ienfâldich liket ôfwizing eigendom fan 'e ôfliedingen operaasjes. Troch derivaten wurde begrepen XOR, oanbefelingen en lykweardigens. As wy hawwe lêzen allinnich mei de basis operaasjes, en dan it eigendom is ek allinnich mar beskôgje harren.

Associativity betsjut dat yn 'e útspraken lykas' sawol A en B, en B 'sequence fermelding fan de operands docht der net ta. De formule wurdt skreaun as folget:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Sa't jo sjen kinne, dat is net unyk foar de konjunksje, mar in disjunction.

Commutativity stelt dat it resultaat fan de konjunksje of disjunction net ôfhinklik is fan hokker item waard sjoen by it begjin:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity lit disclose heakjes yn komplekse logyske uteringen. Regels binne ferlykber mei de iepening parenthesis yn it fermannichfâldigjen en oanfolling yn algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unit eigenskippen en scratch, dat kin ien fan de operands binne ek te ferlykjen mei it algebraic flere troch nul of ien, en it tafoegjen fan in ienheid:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency fertelt ús dat as relatyf twa likense operands it resultaat fan de aksje is itselde, kinne jo "smite" de overtollige complicate ferstân operands. En de konjunksje en disjunction aksjes binne idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Akwisysje ek lit ús te ferienfâldigjen de fergeliking. Opname stelt dat as de útdrukking wurdt tapast oan ien operand, oare operaasje mei itselde elemint fan it resultaat operand wurdt absorbing operaasje.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

opienfolging fan operaasjes

De searje fan bedriuwsfiering is fan grut belang. Eins, lykas foar de algebra, der is in prioriteit funksje dy't brûkt in Booleaanske algebra. Formules kinne wurde ferienfâldige allinne ûnderwerp oan 'e betsjutting fan' e operaasjes. Ranking fan de meast wichtige ta negligible, wy krije de folgjende folchoarder:

1. Denial.

2. Conjunction.

3. De disjunction, XOR.

4. De oanbefelingen, lykweardigens.

Sa't jo sjen kinne, allinne it ûntkennen fan de konjunksje en hawwe net gelikense prioriteit. In spearpunt fan it disjunction en XOR binne gelyk, krektas de spearpunten fan oanbefelingen en lykweardigens.

Funksjes fan oanbefelingen en lykweardigens

Lykas sein, njonken de basis logyske operaasjes, wiskundige logika en teory fan algoritmen mei help derivaten. It is meast faak de oanbefelingen en lykweardigens.

De oanbefelingen of logyske konsekwinsje - dizze ferklearring, wêryn men aksje is in betingst, en de oare - it resultaat fan de útfiering dêrfan. Mei oare wurden, dit foarstel mei it ekskús fan "as ... dan". "Nei it iten komt de reckoning." E. Foar riden wurde oanskerpe op de slee heuvel. As der gjin winsk om nei omleech fen 'e berch, en dan wurdt de fersleep it slee is net nedich. Skreaun is sa: A → B of A⇒B.

Lykweardigens hâldt yn dat de netto effekt plakfynt allinnich as beide operands binne wier. Bygelyks, nacht jout foar de deis dêrnei (en pas dan), as de sinne komt oer de hoarizon. Yn 'e taal fan wiskundige logika fan dizze útspraak wurdt skreaun as A≡B, A⇔B, A == B.

Oare wetten fan Boolean algebra

Algebra oardiel ûntwikkelt, en in protte ynteressearre wittenskippers te formulearjen nije wetten. De meast ferneamde binne beskôge postulates Skotsk wiskundige O. De Morgan. Hy fernaam en joech in definysje fan sokke eigenskippen sa ticht ûntkenning, neist en dûbele negatyf.

Slute leagenjen suggerearret dat foar de parenthesis is gjin ûntkennen: net (A of B) = net A of B. NOT

As de operand is wegere, nettsjinsteande syn wearde, sizze oer addition:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

En as lêste, de dûbele ûntkenning sels kompinsearret. ie foardat beide operand ûntkenning ferdwynt of bliuwt mar ien.

Hoe oplosse tests

Logika hâldt yn ferienfâldiging foarbeskaaide fergelikingen. Krekt as yn 'e Lie algebra, is it nedich om maksimaal fasilitearjen earste betingst (te ûntdwaan fan yngewikkelde ynput operaasjes, en mei hjarren), dan begjinne op syk nei in goed antwurd.

Wat te dwaan om te ferienfâldigjen? Konvertear alle derivaten yn in ienfâldige operaasje. Dan ûntdekke alle heakjes (of oarsom, om de beugels te beheinen dit elemint). De folgjende stap wêze moat te brûken Boolean algebra eigenskippen yn 'e praktyk (opname eigenskippen nul en ien, en t.).

Uteinlik is de fergeliking moat bestean út in minimum oantal unknowns, kombinearre mei ienfâldige operaasjes. De maklikste manier om te sjen nei in oplossing, as jo meitsje in grut tal tichtby negativen. En it antwurd sil pop up lykas troch himsels.