Fourier rige: de skiednis en de ynfloed fan de wiskundige meganisme foar de ûntwikkeling fan de wittenskip

Fourier series - dizze werjefte eigenwillich keazen funksjes oan de perioade yn in rige. Yn algemiene termen, dizze oplossing hjit it útwreidingsplan elemint op in lykwols basis. De útwreiding fan funksjes yn Fourier rige is nochal in krêftige helpmiddel by it oplossen ferskate problemen fanwege de eigenskippen fan de omfoarming yn 'e yntegraasje, differinsjaasje, krektas in ferskowing yn de argumintopmaak útdrukking en convolution.

In persoan dy't net bekend mei hegere wiskunde, lykas ek mei de wurken fan 'e Frânske wittenskipper Fourier, nei alle gedachten sil net begripe wat de "rangen" en wat se dogge. Dochs dit omfoarming is frij stevich ynfierd ús libben. It wurdt brûkt net allinnich wiskunde, mar ek natuerkundigen, Chemists, dokters, astronomen, seismologists, oceanographers en oaren. Lit ús ek nimme in better ynsicht mei de wurken fan 'e grutte Frânske wittenskipper dy't makke de ûntdekking, foarút fan syn tiid.

De man en de Fourier nederlanders

Fourier rige is ien fan 'e metoaden (tegearre mei analyze en oaren) fan de Fourier nederlanders. Dit proses fynt plak eltse kear immen heart gjin lûd. Us ear automatysk set it lûd weach. Oscillatory beweging fan legere dieltsjes yn in elastisch medium wurde útwreide yn 'e rige (it spektrum) opfolgjende folume wearden foar toanen fan ferskillende hichten. Neist, it brein set dizze gegevens yn bekende lûden foar ús. Dit alles is yn neist ús winsk of it bewustwêzen sels, mar om te begripen de prosessen dy't nimme inkele jierren studearje hegere wiskunde.

Lês mear oer de Fourier nederlanders

De Fourier nederlanders kin wurde útfierd analytysk, telwurden en oare metoaden. Fourier rige binne numeral proses foar decomposing eltse oscillatory prosessen - út de oseaan tij en weagen fan it ljocht oan sinne fytst (en oare astronomyske objekten) aktiviteit. Mei help fan dizze wiskundige techniken, is it mooglik om disassemble de funksje, foar eltse oscillatory prosessen yn in tal fan kronkelige komponinten dy't gean fan minimum oan maksimum en oarsom. De Fourier nederlanders is in funksje beskriuwing fan de faze en befieming fan sinusoids oerienkomme mei in bepaalde frekwinsje. Dit proses kin brûkt wurde foar it oplossen fan in hiel kompleks fergelikingen dy't beskriuwe de dynamyske prosessen foarkommend ûnder de aksje fan waarmte, ljocht of elektryske enerzjy. Ek de Fourier rige brûkt te ûnderskieden DC komponinten yn komplekse waveforms, wêrtroch't it mooglik om goed ynterpretaasje de eksperimintele waarnimmingen yn medisinen, skiekunde en astronomy.

histoaryske ynformaasje

De oprjochting heit fan dizze teory is it Frânsk wiskundige Zhan Batist Zhozef Fure. Syn namme letter en dizze omfoarming is neamd. Yn it earstoan, de wittenskippers brûkt in technyk om te studearjen en lizzen de meganismen fan de termyske conductivity - waarmte fuortplanting yn fêste stoffen. Fourier suggerearre dat de begjinsituaasje ûnregelmjittige ferdieling fan de termyske weach kin decomposed yn ienfâldige sinusoid, elk fan hokker sil hawwe har temperatuer minimale en maksimale, krektas syn faze. Sa elk sa'n komponint te mjitten fan minimum oan maksimum en oarsom. De wiskundige funksje dy't beskriuwt de boppeste en legere toppen fan 'e kromme, en ek de faze fan elk harmonic, neamd de Fourier feroarje fan de temperatuer ferdieling fan ekspresje. De skriuwer fan 'e teory fan fermindere totale ferdielingsfunksje dat is lestich te wiskundich beskriuwing, yn in hiel maklik om te ferwurkje in tal fan periodike funksjes fan sinus en kosinus, yn' e hichte fan it jaan fan de earste ferdieling.

It prinsipe fan bekearing en de opfettings fan tiidgenoaten

Tiidgenoaten fan de wittenskipper - de foaroansteande wiskundigen út de iere njoggentjinde ieu - net akseptearje dizze teory. De wichtichste beswier wie de goedkarring fan Fourier, dat de discontinuous funksje beskreau in rjochte line of curve is skuord, dan kin fertsjintwurdige as in som fan kronkelige útdrukkings dy't kontinu. As foarbyld, beskôgje in "stapke" Heaviside: syn wearde is nul jo lofts op 'e kleau en ien oan' e rjochterkant. Dizze funksje beskriuwt de ôfhinklikheid fan elektryske stroom oan de tiid fariabele foar de sluting keten. Hjoeddeiske teory yn dy tiid, hie nea tsjinkaam sa'n situaasje, doe't in discontinuous ekspresje soe wurde beskreaun troch in kombinaasje fan trochgeande, mienskiplike funksjes, lykas Joast, sine, lineêr of quadratic.

Wat hindere de Frânske wiskundigen yn 'e teory fan Fourier?

Ommers, as in wiskundige wie rjocht om te pleitsjen, dan, summing in ûneinige trigonometric Fourier rige, is it mooglik om te krijen in krekte werjefte fan 'e stap fan mieningsutering, ek as it hat in set fan ferlykbere stappen. Yn it begjin fan de njoggentjinde ieu, dizze ferklearring like absurd. Mar nettsjinsteande alle twifel, in soad wiskundigen hawwe útwreide it berik fan 'e stúdzje fan dit ferskynsel, troch dizze kant de termyske conduction stúdzjes. Lykwols, de measte wittenskippers fierder te lijen fan de fraach: "Kin de som fan de sine golf rige converges ta de eksakte wearde fan in discontinuous funksje?"

Konverginsje fan Fourier serie: foarbyld

De kwestje fan de konverginsje ûntspringt eltse kear as jo nedich hawwe it summation fan in ûneinige rige fan nûmers. beskôgje in klassike foarbyld foar it begripen fan dit ferskynsel. Kin jim ea berikke de muorre, as eltse stap is de helte fan de foarige? Stel do bist twa meter út 'e doel, de earste stap tichter oan om heal wei, de folgjende - it skaaimerk fan in trijekwart, en nei it fyfde, dan sil oerwinne hast 97 persint fan' e wei. Mar, nettsjinsteande it oantal stappen dien hast net, it bedoeld doelgroep jo berikke yn in strang wiskundige gefoel. Mei help fan numerike berekkeningen, kinne wy bewize dat yn 'e ein kin tichter nei in willekeurich lyts jûn ôfstân. Dat komt oerien mei in bewiis oantoande dat de totale wearde fan 'e iene helte, ien fjirde, ensafuorthinne. E. Will tend ta ienheid.

De dei fan konverginsje: it weromkommen, of ynstrumint fan Lord Kelvin

Faker as ien kear de fraach ûntstienen yn de lette njoggentjinde ieu, doe't de Fourier rige hawwe besocht te brûken om foarsizze de yntinsiteit fan 'e ebbs en streame. Op dat stuit, Lord Kelvin waard útfûn apparaat is in analoge kompjûter dat meie silers marine en keapman marine monitor is in natuerlike fenomeen. Dit meganisme defined set fan de fazen en amplitudes fan 'e tafel hichte fan de tijtsjinsten en de byhearrende tiid mominten, sekuer metten yn de haven it hiele jier troch. Elts parameter in kronkelich komponint útdrukking tide hichten en wie ien fan de reguliere komponinten. De mjitting resultaten binne ynput foar de Computing apparaat Lord Kelvin, synthesizing curve dat foarsei hichte fan it wetter as in funksje fan it folgjende jier. Hiel gau, dy bochten waarden opsteld foar alle havens fan 'e wrâld.

En as it proses wurdt brutsen discontinuous funksje?

Op dat stuit, it like dúdlik dat it apparaat it foarsizzen fan in tij weach, mei in protte eleminten fan de akkount kin berekkene in grut oantal fazen en amplitudes, en sa jouwe in krekter foarsizzing. Dochs it die bliken dat dit patroan is net waarnommen yn gefallen dêr't it tij útdrukking dat sil wurde synthesized, befette in skerpe sprong, dat wol sizze, binne discontinuous. Yn it gefal dat it apparaat te fieren gegevens út in tabel fan tiid punten, it berekkent pear Fourier coefficients. Recovering de oarspronklike funksje as gefolch fan it kronkelich komponint (neffens de fûn coefficients). De diskrepânsje tusken de oarspronklike en de rekonstruearre útdrukking kin metten op elts punt. Doe't de repeat berekkenings en ferlikings kin sjoen wurde dat de wearde fan 'e grutste flater wurdt net redusearre. Lykwols, se wurde pleatslik yn de regio oerienkomt mei de punt fan 'rupture, en eltse oare punt tend nei nul. Yn 1899, dit resultaat waard befêstige teoretysk Jozua Willard Gibbs fan Yale University.

Konverginsje fan Fourier rige en de ûntwikkeling fan de wiskunde as ien gehiel

Fourier analyse jildt net foar ekspresjes befettet in ûneinige oantal bursts op in bepaalde ynterfal. Yn it algemien Fourier rige, as de oarspronklike funksje wurdt fertsjintwurdige troch it gefolch fan 'e eigentlike fysike mjittingen, altyd converge. Fragen fan konverginsje fan dit proses foar spesifike klassen fan funksjes hawwe laat ta nije tûken fan de wiskunde, lykas de teory fan generalisearre funksjes. It is ferbûn mei nammen lykas Schwartz, J .. Mikusiński en J. Temple. Under dizze teory, in dúdlik en sekuere teoretyske basis foar sokke ekspresje is oprjochte as de Dirac delta funksje (it beskriuwt de streek fan ien gebiet, konsintrearre yn in infinitesimal buert fan it punt) en "stap" Heaviside. Troch dit wurk Fourier rige waard tapassing foar oplossen fergelikingen en problemen, dy't belûke yntuïtive begripen: punt lading, punt massa, magnetysk dipoles, en it lêst fan 'e beam.

Fourier metoade

Fourier rige, oerienkomstich de prinsipes fan hinderjen, begjinne by it ûntleden fan komplekse foarmen yn ienfâldiger. Bygelyks, in feroaring yn de waarmte stream fanwege syn passaazje troch de ferskate barriêres fan 'e waarmte isolearjende materiaal fan ûnregelmjittige foarm of it feroarjen grûn oerflak - in ierdskodding, in feroaring yn' e baan fan 'e himellichem - de ynfloed fan' e planeten. Typysk, dizze fergelikingen beskriuwe ienfâldige klassike systeem legere oplost foar elk yndividueel golflingte. Fourier hat sjen litten dat ienfâldige oplossingen kinne wurde fette as foar mear komplekse taken. Yn de taal fan de wiskunde, Fourier series - in metodyk foar it útbringen fan mieningsutering som fan harmonic - kosinus en sine weagen. Dêrom, dizze analyze is ek bekend ûnder de namme "harmonic analyze".

Fourier series - in ideaal metoade oan 'e "kompjûter âldens"

Foarôfgeand oan 'e oprjochting fan' e kompjûter technology Fourier metoade is de bêste wapen yn 'e arsenaal fan wittenskippers dwaande mei de weach karakter fan ús wrâld. Fourier rige yn komplekse foarm jout jo de mooglikheid om net allinnich lossen ienfâldige problemen dy't amenable te direkte tapassing fan Newton syn wetten fan de meganika, mar ek de fûnemintele fergelikingen. It grutste part fan 'e fynsten fan Newtonian wittenskip fan' e njoggentjinde ieu waard mooglik allinne fanwege de Fourier metoade.

Fourier rige hjoed

Mei de ûntwikkeling fan Fourier omsetten fan computers hawwe ferriisd nei in nij nivo. Dizze technyk wurdt stevich entrenched yn hast alle fjilden fan wittenskip en technology. As foarbyld, in digitale audio en fideo. De ymplemintaasje is makke mooglik allinne tank oan de teory ûntwikkele troch de Frânske wiskundige út de iere njoggentjinde ieu. Sa, de Fourier rige yn komplekse foarm hat tastien om in trochbraak yn it ûndersyk fan de bûtenste romte. Boppedat, it hat ynfloed op de stúdzje fan de fysika fan semiconductor materialen en plasma, magnetron akoestiek, oseanografy, radar, seismology.

Trigonometric Fourier rige

Yn de wiskunde, in Fourier rige is in manier fan dy't willekeurige komplekse funksjes as in som fan ienfâldiger. Yn it algemien gefallen, it oantal ekspresjes kinne wêze ûneinige. It grutter it nûmer rekkene yn de berekkening, it krekter it einresultaat wurdt verkregen. De meast foarkommende gebrûk fan ienfâldige trigonometric kosinus of sine funksje. Yn dat gefal wurdt de Fourier rige hjit trigonometric, en it beslút fan sokke uteringen - harmonic ûntleden. Dizze metoade spilet in wichtige rol yn de wiskunde. Earst fan alle, de trigonometric rige jout in middel foar de ôfbylding, en ek de stúdzje fan funksjes, it is de wichtichste ienheid fan 'e teory. Boppedat, it jout ús oplosse in tal problemen yn wiskundige natuerkunde. By einsluten, dizze teory hat bydroegen oan de ûntwikkeling fan de wiskundige analyse, it joech oanlieding ta in oantal hiel wichtige tûken fen matematysk Science (teory fan integrals, de teory fan periodike funksjes). Boppedat, it útgongspunt foar de ûntwikkeling fan de neikommende teoryen: sets, funksjes fan in echte fariabele, funksjonele analyze, en ek de basis lein foar harmonic analyse.