De Riemann Hypoteze. Ferdieling fan Prime nûmers

Yn 1900, ien fan de grutste wittenskippers fan de foarige ieu, David Hilbert makke in list besteande út 23 Unsolved problemen fan de wiskunde. Wurk oan harren hat hie in enoarme ynfloed op de ûntjouwing fan dit fjild fan minsklike kennis. Nei 100 jier yn de Clay Mathematical Ynstitút presintearre in list fan sân problemen, bekend as de Millennium doelen. Foar it beslút fan elk fan harren waard oanbean op de priis fan $ 1 miljoen.

It ienige probleem, dat wie tusken de twa listen fan puzels, ieuwenlang net jaan rêst oan wittenskippers, waard de Riemann hypoteze. Se is noch altyd wachtet foar syn beslút.

Koarte biografyske ynformaasje

Georg Friedrich Bernhard Riemann waard berne yn 1826 yn Hanover, yn in grutte famylje fan in earme dûmny, en wenne mar 39 jier âld. Hy slagge om te publisearjen 10 papieren. Lykwols, by it libben fan Riemann er beskôge as opfolger fan syn learmaster Johann Gauss. Op 25 jier jonge wittenskipper ferdigene syn proefskrift "Grûnslaggen fan de teory fan de funksjes fan in kompleks fariabele." Letter er formulearre syn hypoteze, dy't ferneamd waard.

primes

Wiskunde kaam doe't man learde te telle. Doe ûntstienen de earste idee fan de nûmers, dy't letter besocht te klassifisearjen. It is waarnommen dat guon fan harren hawwe mienskiplike eigenskippen. Benammen tusken de natuerlike getallen m. E. Dy wat waarden brûkt yn de berekkening (nûmering) of de oanwiisde oantal items is dat tawiisd is in groep fan sa'n hokker wurde ferdield allinne troch ien en harsels. Se waarden neamd simpel. In elegante bewiis fan 'e stelling ûneinige rige nûmers jûn troch Euklides yn syn "Elements". Op it stuit, wy fierder harren sykjen. Benammen, de grutste fan in oantal bekende ² 74207281 - 1.

Euler syn formule

Tegearre mei it begryp fan ûneinich soad primes Euklides definiearre en de twadde stelling de ienige mooglike factorization. Neffens it dan in positive hiele is it produkt fan mar ien set fan primes. Yn 1737, de grutte Dútske wiskundige Leonhard Euler útdrukt earste fan Euklides syn stelling oer de ûneinichheid fan 'e formule sjen hjirûnder.

It hjit de zeta funksje, dêr't s - in konstante en p is alles ienfâldige wearden. Ut it streekrjocht folge en goedkarring fan it eigene fan de útwreiding fan Euklides.

Riemann zeta funksje

Euler syn formule by neier ynsjen is hiel opmerklik, sa't jûn troch de ferhâlding tusken de ienfâldige en integers. Ommers, yn har lofter kant binne fermannichfâldige ûneinich soad útdrukkings dy't ôfhinklik allinnich op ienfâldige, en yn 'e rjochter bedrach wurdt yn ferbân brocht mei alle positive integers.

Riemann gie op Euler. Om te finen de kaai nei it probleem fan de ferdieling fan 'e nûmers, dan wurdt útsteld om te beskiede hokker formule foar sawol de eigentlike en komplekse fariabele. It wie se, dy't letter waard bekend as de Riemann zeta funksje. Yn 1859 de wittenskipper publisearre in artikel mei de titel 'On it oantal primes dy't net heger wêze as in foarbeskaaide wearde ", dêr't fette al harren ideeën.

Riemann foarstelde it gebrûk fan in oantal Euler, convergent foar alle echte s> 1. As deselde formule wurdt brûkt foar komplekse s, dan de rige sil converge foar elke wearde fan de fariabele mei de echte diel grutter is as 1. Riemann brûkt de analytyske fuortsetting fan de proseduere troch it útwreidzjen fan it definysje fan zeta (s) foar alle komplekse getallen, mar "smiten" ienheid. It wie net mooglik, want as s = 1 zeta funksje tanimt oant yn it ûneinige.

praktyske betsjutting

De fraach ûntstiet: wat is nijsgjirrich en wichtich zeta funksje, dat is krúsjaal yn it wurk fan Riemann op 'e null hypoteze? Sa't jo witte, op it stuit net fûn in ienfâldige patroan dat beskriuwt de ferdieling fan Prime nûmers ûnder it natuerlike. Riemann yn steat om te spoaren dat it oantal pi (x) fan Prime nûmers, dy't net superieur oan x, útdrukt troch de ferdieling fan nontrivial nul zeta funksje. Boppedat, de Riemann hypoteze is in needsaaklik betingst om te bewizen tydlike weardeskattingen fan bepaalde kryptografyske algoritmen.

De Riemann hypteze

Ien fan 'e earste formulearringen fan dit wiskundige probleem, net bewiisd oant hjoed de dei, is: triviale 0 zeta funksje - komplekse getallen mei echte part gelyk oan ½. Mei oare wurden, se binne oardere op in rjochte line Re s = ½.

Der is ek in generalisearre Riemann hypteze, dat is deselde útspraak, mar foar feralgemienjen fan de zeta-funksjes, hokker wurde neamd de Dirichlet (sjoch. Photo hjirûnder) L-funksjes.

Yn 'e formule χ (n) - in nûmerike karakter (mod k).

Riemann syn útspraak is it saneamde null hypoteze, sa't is ferifiearre foar de gearhing mei de besteande Sample gegevens.

As ik pleitsje Riemann

Note Frysk wiskundige wie oarspronklik formulearre hiel tafallich. It feit is dat op dat stuit de wittenskipper wie hinne te bewizen in stelling oer de sprieding fan Prime nûmers, en yn dat ramt, dy hypteze hat gjin folle effekt. Lykwols, syn rol yn de oanpak fan de protte oare saken is enoarm. Dat is wêrom't de Riemann hypoteze foar no in protte wittenskippers erkenne it belang fan unproven wiskundige problemen.

Sa't is sein, te bewizen de stelling oer de ferdieling fan de folsleine Riemann hypteze is net nedich, en hiel logyskerwize bewize dat it wiere diel fan in net-triviale nul fan it zeta funksje is tusken 0 en 1. Dit eigendom ymplisearret dat de optelsom fan alle 0-m zeta funksje dy't ferskine yn de eksakte formule boppe, - einige konstante. Foar grutte wearden fan x, it kin allegear wurde ferlern. De ienige lid fan 'e formule, dy't net wizigje is sels by tige hege x, x is himsels. De rest fan it kompleks termen yn ferliking mei it asymptotically ferdwine. Sa, de woegen bedrach benaderjen liedt ta x. Dit feit kin beskôge wurde as bewiis fan 'e wierheid fan priemgetal stelling. Sa, de nullen fan de Riemann zeta funksje ferskynt in spesjale rol. It is om te bewizen dat dizze wearden kinne net bydrage frijwat út nei it útwreidingsplan formule.

Riemann followers

De tragyske dea fan tuberkuloaze ferhindere de wittenskipper bringe oan it logysk ein fan it programma. Lykwols, hy naam it stokje fan de W-F. de la Vallée Poussin en Zhak Adamar. Ûnôfhinklik fan elkoar se hiene weromlutsen priemgetal stelling. Hadamard en Poussin slagge om te bewizen dat alle nontrivial 0 zeta funksje lizze binnen de kritysk band.

Mei tank oan it wurk fan dy wittenskippers, in nije tûke fan de wiskunde - analytysk teory fan de nûmers. Letter, oare ûndersikers hawwe krige in bytsje primitivere bewiis fan 'e stelling wie dwaande yn Rome. Yn it bysûnder, Pal Erdős en Atle Selberg hawwe iepene sels befêstiget har tige komplekse keatling fan 'e logika, net easkje it brûken fan komplekse analyze. Mar op dit punt it idee fan Riemann troch ferskate wichtige stellingen binne bewiisd, wêrûnder de ûnderlinge oanpassing fan de protte funksjes fan getalteory. Yn ferbân mei dizze nije wurk Erdős en Atle Selberg hast neat net beynfloede.

Ien fan 'e ienfâldichste en moaiste bewiis fan it probleem is fûn yn 1980 troch Donald Newman. It wie basearre op de bekende Cauchy stelling.

Drige as Riemann syn hypoteze is de basis fan de moderne kryptografyske

Data fersifering ûntstie mei it uterlik fan 'e karakters, of leaver, se harsels meie wurde beskôge as de earste koade. Op it stuit is der in hiele nije trend fan digitale kryptografyske, dat is dwaande mei de ûntwikkeling fan fersifering algoritmen.

Ienfâldich en "Semisimple" number m. E. Dy dy't allinnich ûnderferdield yn twa oare getallen fan deselde klasse, binne de basis fan in publike kaai systeem, bekend as RSA. It hat in breed programma. Yn it bysûnder, dat brûkt wurdt yn de generaasje fan in elektroanyske hantekening. As wy prate yn termen fan de beskikbere "theepot", de Riemann hypoteze beweart it bestean fan it systeem yn de ferdieling fan Prime nûmers. Sa, gâns minder wjerstân fan kryptografyske kaaien, wêrop hinget de feiligens fan de online transaksjes yn e-commerce.

Oare Unsolved wiskundige problemen

Folsleine artikel is wurdich devoting in pear wurden ta oare taken fan it Millennium. Dy binne ûnder oare:

• Gelikensens fan klassen P en NP. It probleem is formulearre as folget: oft in posityf antwurd op in jûn fraach wurdt ferifiearre yn veelterm tiid, dan is it wier dat er sels it antwurd op dizze fraach te finen gau?
• Hodge gis. Yn ienfâldige termen kin steld wurde as folget: foar guon soarten projective algebraic manifolds (spaasjes) Hodge fytst binne kombinaasjes fan foarwerpen dy't in geometryske ynterpretaasje, dws algebraic fytst ...
• Poincaré gis. It is de ienige bewiisd op it momint Millennium problemen. Neffens it elk trijediminsjonaal fisueel foarwerp hawwende spesifike eigenskippen fan de 3-dimensionale bol, de bol moat wêze akkuraat te deformation.
• Goedkarring fan it kwantum Yang - Mills teory. Wy moatte bewizen dat kwantumteory, sette foaren troch dy wittenskippers oan de romte R ^4, is der in 0-massa defekt foar eltse ienfâldige Kalibrierung fan in kompakte groep G.
• De hypoteze fan de Birch - Swinnerton-Dyer. Dit is in oar probleem dat relevant is foar Tig. It giet om de elliptyske kurves.
• It probleem fan it bestean en de glêdens fan de oplossings fan de Navier - Stokes fergelikingen.

No witte jo de Riemann hypoteze. Yn ienfâldige termen, wy hawwe formulearre en guon fan 'e oare doelstellings fan de Millennium. It feit dat se sille oplost wurde of it is bewiisd dat se hawwe gjin oplossing - it is in kwestje fan tiid. En dit is dat net wierskynlik om te wachtsjen te lang, as de wiskunde wurde hieltyd mear mei help fan kompjûtasjonele krêft fan kompjûters. Mar net alles is ûndergeskikt oan de keunst en te lossen wittenskiplike problemen benammen freget yntuysje en kreativiteit.