Euclid syn fyfde postulate: de formulearring

It is gedachten wienen der 10 000 jier ferlyn, de earste minsklike beskaving. Yn ferliking mei de leeftyd fan ús planeet, dy't, neffens wittenskippers, giet oer 4.54 miljoen jier âld, dit is mar in koarte momint. Foar dizze "moment" minskdom hat makke in grutte sprong út de primitive stiennen ark oan interplanetary romtesonde. Hy wier gjin mooglik is, as fan tiid ta tiid op 'e planeet west hawwe soe Born in sjeny, wittenskip beweecht nei foaren. Under harren, fansels, ferwiist Euklides. Syn wurk waard de stifting en in krêftige ympuls foar de ûntwikkeling fan de moderne wiskunde.

Dit artikel giet oer it fyfde postulate fan Euklides en syn skiednis.

Hoe diene de mjitkunde

Sûnt de kavels fan grûn wienen it ûnderwerp fan de hier, harren omfang en gebiet fan keap en levering moatte metten wurde, ûnder oaren troch de berekkeningen. Fierders sokke berekkeningen wurden nedich yn 'e bou fan grutskalige struktueren, en ek mjitten de folume fan de ferskillende items. Dit alles hat wurden betingsten fan 3-4 tûzen jier lyn yn Egypte en Babylon keunst surveying. It hat west empirically en is in kolleksje fan ferskate hûnderten foarbylden fan oplossen fan spesifike problemen, sûnder ienich bewiis.

As systematyske wittenskip fan geometry ûntwikkele yn it âlde Grikelân. Al yn de tredde ieu foar Kristus wie der in grut oanbod fan feiten en bewiis metoaden. Lykwols, der ûntstienen it probleem foldwaande útwreide te summarize it ynsammele geometryske materiaal. Se besocht te lossen Hippokrates Fedii en oare âlde Grykske filosofen. Lykwols, logyskerwize ferifiearre wittenskiplike systeem wie der mar sa'n 300 jier foar Kristus. e. mei de publikaasje fan de "Principia".

Wa wie Euklides

Âlde Grikelân joech de wrâld in protte fan de grutste filosofen en wittenskippers. Ien fan dy is Euclid, dy't waard de stifter fan de Aleksandrynske skoalle fan de wiskunde. Oer de wittenskipper praktysk neat bekend. Guon boarnen jouwe oan dat de jonge takomstige heit fan de moderne mjitkunde studearre yn 'e ferneamde skoalle fan Plato yn Atene, en dan werom nei Aleksandrje, dêr't er bleau de stúdzje wis- en optika, krektas it komponearjen muzyk. Yn syn heitelân stêd stifte hy in skoalle, dêr't, tegearre mei de learlingen en makke syn ferneamde wurk, dy't foar mear as twa tûzen jierren is de basis foar alle learboek op plane mjitkunde en bêst mjitkunde.

"Elements" fan Euklides

De wichtichste en meast earst systematysk wurk op geometry bestiet út 13 dielen. De earste fjouwer en it seisde boeken omgean mei it fleantúch mjitkunde, en 11e, 12e en 13e - bêst mjitkunde. As foar de oare dielen, se binne tawijd te rekkenjen, dat is út it eachpunt fan geometryske postulates.

De rol fan 'e wichtichste wurk fan Euklides yn de lettere ûntwikkeling fan de wiskundige wittenskippen kinne net heech rûsd wurden. Oerlevere papyrus listen ferskate fan it orizjineel, likegoed as Byzantynske manuskripten.

Yn de Midsieuwen, "Elements" fan Euklides waarden bestudearre benammen troch de Arabieren, dy't beskôgje se ien fan 'e grutste wurken fan it minsklik tinken en de wittenskipper fan Damaskus. Folle letter dizze wurken belangstelling de Europeanen. Mei de komst fan drukkerij wittenskip, ynklusyf Euclidean mjitkunde net langer wêze bekend allinnich oan 'e útkarde. Nei de earste edysje yn 1533. "eleminten" binne beskikber foar allegearre dy't wolle begripe de wrâld, en der binne mear en mear alle jierren. De fraach is makke oanbod, dus it is miend dat dit wurk is it twadde meast lêzen ûnder de monuminten fan 'e Aldheid nei de Bibel.

guon funksjes

De "Eleminten" beskriuwt it metryk eigenskippen fan trijediminsjonale, leech, limitless en isotropic romte, dat is meastal neamd Euclidean. It wurdt beskôge as in stadion dêr't der ferskynsels fan de klassike natuerkunde fan Galileo en Newton.

Elemintêre geometryske foarwerp, neffens Euklides, is it punt. De twadde wichtige konsept - de ûneinichheid fan de romte, dat wurdt karakterisearre troch de earste trije postulates. De fjirde giet de gelikensens fan rjochts Angelen. Oangeande Euklides syn fyfde postulate, dan bepaalt de eigenskippen en de mjitkunde fan Euclidean romte.

Neffens wittenskippers, klassike mjitkunde heit makke in perfekte hânboek, de stúdzje dêrfan útsluten fan alle misbegryp fan it materiaal fanwege de wei syn presintaasje. Yn it bysûnder, elk folume fan de "Eleminten 'begjint mei de definysje fan' e konsepten tsjinkaam foar de earste kear. Benammen, út 'e earste siden fan de 1e boek de lêzer leart dat in punt, line, rjochte ensafuorthinne. Yn totaal It hat in 23 definysjes nedich foar it begripen fan' e wichtichste bepalings fan it materiaal presintearre yn dit fûnemintele wurk.

4 de earste axiom en postulate Euklides

Nei in skriuwer fan de "Eleminten" biedt resultaten dy't akseptearre sûnder bewiis. Dy hy skiedt yn axioms en postulates. De earste groep bestiet út 11 ferklearrings dy't de man bekend yntuityf. Bygelyks, de 8-th axiom dat it gehiel is grutter as it diel, en yn oerienstimming mei de earste twa hoemannichten gelyk oan in tredde binne gelyk oan elkoar.

Fierders 5 makket Euklides postulates. De earste fjouwer lêzen as folget:

• fan elts punt foar elk oar, kinne jo lûke in rjochte line;
• fan alle sintrum fan eltse striel is mooglik te beskriuwen in sirkel;
• beheind line kin útwreidzje hieltyd yn in rjochte line;
• alle rjocht ynfalshoeken binne gelyk.

Euclid syn fyfde postulate

Foar mear as twa milennia, dizze ferklearring kearen waard it objekt fan 'e oandacht fan wiskundigen. Mar earst, wy e kunde komme mei de ynhâld fan Euklides syn fyfde postulate. Sa, yn 'e moderne formulearring it klinkt as soe op in fleantúch op it krúspunt fan twa rjochte iensidige tredde-som fan it ynterieur Angelen fan minder as 180 °, dan dizze linen wylst oanhâldende earder of letter foldwaan oan dy kant op dêr't dit kwantiteit (bedrach) fan minder as 180 °.

Euclid syn fyfde postulate, de formulearring fan dy't yn ferskillende boarnen yn ferskillende wizen út 'e miet ôf oan feroarsake de sport en de winsk om it yn de kategory fan de stellingen troch it oanlizzen fan in lûd bewiis. Troch de wei, wurdt it faak ferfongen troch in oare útdrukking, yn feite, betocht ferflokte en ek bekend as de axiom fan Playfair. It lêst as folget: yn in fleantúch troch in punt, dat heart net by in jûn rigel kin fêsthâlde ien en mar ien rjochte line parallel oan dit.

taal

Sa't al neamd, in protte wittenskippers hawwe besocht ferskillende drukken it idee fan de 5e postulate fan Euklides. In soad formulearringen binne wol foar de hân. Bygelyks:

• converging linen kruse;
• Der is yn elts gefal ien rjochthoeke, dat wol sizze, 4-plein mei fjouwer rjocht hoeken wei;
• elke figuer kin nei ferhâlding fergrutte;
• der is in trijehoeke dy't ien of oar, eigenwillich grut gebiet.

tekortkomingen

Euclidean mjitkunde wie de grutste wiskundige wurken fan 'e Aldheid en oant yn de 19e ieu, dat regearre unchallenged yn de wiskunde. Nettsjinsteande dat, in pear fan syn tekoarten binne notearre sels troch tiidgenoaten fan de skriuwer, en de âlde Grykske gelearde, dy't wenne wat letter. Yn it bysûnder, dat hat tafoege in nij Archimedes axiom, neamd nei him. It seit der is in hiel getal n, dat is n · [AB]> [CD] foar alle segminten AB en CD.

Dêrneist wittenskippers hawwe socht om minimalisearje it systeem fan Euclidean axioms en postulates. Te dwaan dat, se naam guon fan harren út út de rest.

Sa is it slagge om "get rid" fan de 4e postulate fan 'e gelikensens fan it rjocht Angelen. Foar him, in strang bewiis fûn, dus hy ferhuze nei de kategory fan de stellingen.

Skiednis 5 postulate yn de âldheid en de iere midsieuwen

De klassike formulearring fan dizze útspraak Euclidean mjitkunde liket folle minder fanselssprekkend as de oare fjouwer. It is dit feit efterfolge wiskundigen.

De oanstjit foar de fyfde Euclidean postulate wie de definysje fan parallelism fan de twa rigels a en b, dêr't yn stie dat de som fan de twa iensidich Angelen dy't wurde foarme troch de krusing fan A en B in tredde rjochte line c, gelyk oan 180 graden.

It earste besykjen om dat te as in stelling waard makke troch de âlde Grykske geometer Posidonius. Hy útstel te beskôgje in direkte parallel oan it flak fan 'e set fan alle punten dy't equidistant út it orizjineel. Mar, sels dat net tastean Posidonius fine oanwizings 5de postulate.

Noch oan 'e nocht en it besykjen fan oare wiskundigen, ynklusyf midsieuske, lykas de Arabieren ibn Korra en Khayyam. It iennichste ding dat is berikt - de opkomst fan nije postulates, dat kin wurde bewiisd op grûn fan ferskate oannames.

Yn de 18-19-th ieuwen

Klassike mjitkunde bleau te wêzen belangstelling foar wiskunde en yn 'e 18e ieu. Yn it bysûnder, genôch ticht by it bewiis parallel postulate koe komme Frânsk wiskundige A. Legendre. Hy skreau in treflik tekstboek "Eleminten fan mjitkunde", dat giet oer 150 jier wie de wichtichste fan ûnderwizen wiskunde yn it Russyske ryk skoallen. Dêryn ek de wittenskipper joech trije opsjes bewize de Euclidean parallel axiom, mar se wiene allegear ferkeard.

By it begjin fan de 19e ieu, it idee fan it meitsjen fan in net-Euclidean mjitkunde. De earste beskriuwing fan it systeem, ûnôfhinklik fan 'e fyfde postulate, late in militêre yngenieur J. Bolyai. Mar hy wie kjel fan syn fynst en net neistribje it idee, it leauwen dat ferkeard. It sukses hat net by steat west om te berikken en de grutte Dútske wiskundige Gauss.

trochbraak

Foar mear as 2000 jierren fan Euklides syn fyfde postulate, it bewiis fan wat besocht te finen hûnderten wittenskippers, bleau de nûmer ien probleem yn de wiskunde. Trochbraak makke Russyske wiskundige NI Lobachevsky. Dat hy wie de earste yn 'e wrâld kinne beskriuwe de eigenskippen fan de echte romte, biwiizgjende dat Euclidean mjitkunde "wurket" allinnich yn it bysûnder gefal fan syn systeem.

N. I. Lobachevsky earstoan gie del itselde paad as dat fan syn kollega. Besykje te bewize de 5e postulate, hy hat it net slagge. Dan de wittenskipper wegere Euclidean fertsjintwurdiging, neffens dêr't de Angelen fan in trijehoek bedrach gelyk oan 180 graden. Folgjende, hy besocht te bewizen dizze bewearing troch tsjinspraak en krige in nije redaksje foar de fyfde postulate. No, hy talitten it bestean fan ferskate linen parallel oan dizze, en troch in punt lizzende bûten dizze line.

nij mjitkunde

It makket gjin sin om te bepraten wa hat dien mear foar wiskunde. De rol fan Euklides en Lobachevsky ferlykber ynfloed op it foarmjen en ûntwikkeljen fan de fysika fan Newton en Einstein. Tagelyk, de nije, absolute mjitkunde is mooglik om beskôget it begryp romte, brekken fuort fan 'e klassike metoade "kinne begripe allinne wat kin metten wurde." Mar sa'n oanpak oefene yn de wittenskip foar tûzenen fan jierren.

Spitigernôch, de ideeën fan Lobachevskii mjitkunde waarden net akseptearre en begrepen troch syn tiidgenoaten. Yn it bysûnder, syn learlingen binne net fuortset it wurk fan de wittenskipper, en de ûntwikkeling fan it net-Euclidean mjitkunde waard fertrage foar inkele desennia.

Guon funksjes fan de Lobachevskii teory

Om begripe de nije mjitkunde, is it nedich om te beskôgje de kosmyske ûneinichheid. Yndie, it is dreech foar te stellen dat it iepene fan it universum is de som fan lineêre spaasjes.

Lobachevsky mjitkunde wurdt brûkt om te beskriuwen rûnbûgde romtes dy't makke troch de gravitasjonele fjilden fan stjerrestelsels. Se meie ôf fan de metoade fan 'e oandacht fan alle sifers oan it "oer rjochts" silinder, sirkel, piramide, of eltse kombinaasje fan dizze foarmen. Want, bygelyks, yn werklikheid, ús planeet - gjin bal, en de geoid, dat wol sizze, in figuer dy't wurdt krigen troch contouring de bûtenste kontoeren fan it lithosphere (hurde skyl) fan de Ierde ...

Yn it echte libben, der binne ek analogen rûnbûgde spaasjes fan it hielal, dat makket it mooglik om ynfiering fan de mooglikheid fan it bestean fan ferskate parallelle linen fan it trochjaan fia itselde punt. Bysûnder, dit gebogen oerflak fan de trije typen dy't dat tawiisd Italjaansk geometer Beltrami en neamd E. pseudosphere.

Fierdere ûntwikkeling fan 'e teory fan Lobachevsky

Outstanding Russysk wie net de iennichste dy't is net bedoeld absoluteness fan Euclidean mjitkunde. Benammen, de wiskundige Riemann yn 1854 sette foaren it idee fan 'e mooglikheid fan it bestean fan de spaasjes fan nul, posityf en negatyf curvature. Dat hold yn dat jo kinne meitsje in ûneinige oantal ferskillende net-klassike geometries.

Op Riemann syn posysje, dy't hat studearre foaral romte mei posityf curvature, de 5e postulate fan Euklides klinkt frij ûnferwachts. Neffens syn ideeën, troch in punt bûten in jûn line kin net hold eltse line parallel oan dit.

Hiel oars is it gefal mei de nul romten, negative en positive curvature fan Lyts syn teory. Benammen yn it earste gefal, se wurde beskreaun troch de parabolic mjitkunde, waans bysûnder gefal is in klassiker, it twadde - ûnderwerp oan de ideeën fan Lobachevsky, en de tredde - oerienstimming mei dy beskreaun troch Riemann.

Nei oanlieding fan it ferskinen fan de relativiteitsteory fan Albert Einstein, it yntsjinjen fan sokke spaasjes oanfolling op gegevens dy't rekken holden mei it bestean fan fjouwer solidaire Ingelsk interdependent en feroarjende mjittings - gewicht, macht, snelheid en tiid.

yn 'e praktyk

As jo gean nei de minsklike belibbing fan romte binnen de ierde orbit foar reus grutste mooglike trijehoek fan 'e mooglike ôfwiking fan de som fan it ynterieur Angelen fan 180 graden klassike make mar fjouwer millionths fan in sekonde. Dizze wearde is bûten de mooglikheden fan homo sapiens, dus "ierdske" fraach is Euclidean mjitkunde.

It bliuwt te wachtsjen oant betingsten binne makke dy't tastean te krijen eksperimintele gegevens te befêstigjen of wjerlizzen de teory fan N. Lobachevsky en Riemann oer de galaxy.

No jimme witte, dat ferklearret Euklides syn fiifde postulate en syn skiednis, dat is tige learsum, en makket it mooglik ús te efterheljen it ferrin fan 'e minsklike geast oer de ôfrûne 2300 jier.