It ûnbepaalde yntegraal. -Berekkening fan indefinite integrals

Ien fan 'e fûnemintele seksjes fan wiskundige analyse is de yntegraal kalkulus. It hat in hiel breed mêd fan objekten, dêr't de earste - it is it ûnbepaalde yntegraal. Posysje jildt it as in toets dy 'noch yn hege skoalle ferriedt in tanimmend oantal perspektiven en mooglikheden, dy't beskriuwt hegere wiskunde.

ferskining

Op it earste each, it liket hielendal yntegraal oan moderne, aktueel, mar yn de praktyk blykt dat hy kaam werom yn 1800 foar Kr. Home om offisjeel beskôge Egypte as net berikke ús eardere bewiis fan syn bestean. It troch in gebrek oan ynformaasje, al de wylst gepositioneerd gewoan as in ferskynsel. Er ien kear op 'e nij befêstiget it nivo fan de wittenskiplike ûntwikkeling fan' e folken fan dy tiden. Ta beslút, de wurken waarden fûn de âlde Grykske wiskundigen, datearjend út de 4e ieu f. Se beskriuwe de metoade brûkt dêr't it ûnbepaalde yntegraal, de essinsje fan dat wie te finen it folume of gebiet fan in curvilinear foarm (trijediminsjonale en twadiminsjonale plane, respektivelik). berekkening is basearre op it prinsipe fan de ferdieling fan 'e oarspronklike figuer yn infinitesimal ûnderdielen, op betingst dat it folume (gebiet) is al oan hjar bikend. Nei ferrin fan tiid, de metoade hat groeid, Archimedes brûkte dat te finen it gebiet fan in Vida. Similar berekkenings tagelyk te fieren oefeningen yn it âlde Sina, dêr't se wienen hielendal selsstannich út de Grykske kollega wittenskip.

ûntwikkeling

De folgjende trochbraak yn de XI ieu foar Kristus is it wurk fan de Arabyske gelearde "wagon" Abu Ali al-Basri, dy't de oantrún foar de grinzen fan 'e al bekend, waarden ôflaat fan it yntegraal formule foar it berekkenjen fan de sommen fan de bedraggen en graden út' e earste oant de fjirde, it oanfreegjen fan dit bekend oan ús induction metoade.
Minds fan hjoed wurde bewûndere troch de âlde Egyptners makke de Amazing monuminten sûnder spesjale helpmiddels, útsein dat fan har eigen hannen, mar is is gjin macht mad wittenskippers fan de tiid net minder op in wûnder? Yn ferliking mei de hjoeddeistige tiden fan harren libben lykje hast primityf, mar it beslút fan indefinite integrals lieden oeral en brûkt yn de praktyk foar fierdere ûntwikkeling.

De folgjende stap fûn plak yn de XVI ieu, doe't it Italjaanske wiskundige Cavalieri brocht ûndielbere metoade, dy't pakte Per ferma. Dy twa persoanlikheid de basis lein foar de moderne yntegraal calculus, dat is bekend op it stuit. Sy bûnen de begripen fan differinsjaasje en yntegraasje, dêr't waarden earder sjoen as harsels befette ienheden. Troch en grutte, de wiskunde fan dy tiid wie fersnippere dieltsjes befinings bestean troch harsels, mei in beheind gebrûk. Wize te ferienjen en fine mienskiplike grûn wie de iennichste wiere op it stuit, mei tank oan him, de moderne wiskundige analyse hie de kâns om te groeien en te ûntwikkeljen.

Mei de trochgong fan de tiid feroaret alles en it yntegraal symboal likegoed. Troch en grutte, waard oanwiisd wittenskippers, dy't yn syn eigen manier, bygelyks, Newton brûkte in fjouwerkant ikoan, dy't sette in integrable funksje, of gewoan yn elkoar set. Dit imp duorre oant de XVII ieu, doe't der in oriïntaasjepunt foar it hiele teory fan wiskundige analyse wittenskipper Gotfrid Leybnits yntrodusearre sa'n karakter fertroud foar ús. Langhalige "S" is eins basearre op dit brief fan 'e Romeinske alfabet, sûnt denotes de som fan Primitives. De namme fan it yntegrale krigen tank oan Jakob Bernoulli, nei 15 jier.

De formele definysje

It ûnbepaalde yntegraal ôfhinklik fan de definysje fan it primitive, dus wy beskôgje it yn it earste plak.

Antiderivative - is de ynverze funksje fan it derivative, yn 'e praktyk it hjit primitive. Oars: primitive funksje fan d - is in funksje D, dat is de derivative v <=> V '= v. Search primitive is om te berekkenjen de indefinite yntegraal, en it proses sels hjit yntegraasje.

foarbyld:

De funksje s (y) = y ^3, en syn primitive S (y) = (y ^4/4).

De set fan alle Primitives fan 'e funksje - dit is in ûnbepaalde yntegraal, oanjūn it as folget: ∫v (x) dx.

Op grûn fan it feit dat V (x) - wurde allinne in pear primitive oarspronklike funksje, ekspresje hâldt: ∫v (x) dx = V (x) + C, dêr't C - konstante. Under de willekeurige konstante ferwiist nei eltse constante, sûnt har derivative is nul.

eigenskippen

De eigenskippen hienen troch it ûnbepaalde integral, yn wêzen basearre op de definysje en de eigenskippen fan derivaten.
Tink oan de kaai punten:

• yntegraal dêrfan ôflaat fan it primitive is primitive sels plus in willekeurige konstante C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• dêrfan ôflaat fan it yntegraal fan in funksje is de oarspronklike funksje <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstante is nommen út ûnder de yntegraal teken <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, dêr't k - is willekeurich;
• integral, dat is nommen út de som fan de identically lyk oan de som fan integrals <=> ∫ (v (y) + W (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De lêste twa eigenskippen kin konkludearre wurde dat it ûnbepaalde yntegraal is lineêre. Troch dit, wy hawwe: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Om sjen foarbylden fan fixing oplossings indefinite integrals.

Jo moatte fine de yntegraal ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Ut it foarbyld kinne wy konkludearje dat jo net witte hoe te lossen indefinite integrals? Gewoan fine alle Primitives! Mar it sykjen nei de begjinsels besprutsen hjirûnder.

Metoaden en foarbylden

Om te lossen de yntegraal, kinne jo resort nei de folgjende metoaden:

• klear om te profitearjen fan 'e tafel;
• yntegraasje by dielen;
• yntegrearre troch ferfangen de fariabele;
• summing omheech ûnder it teken fan 'e differinsjaaloperator.

tables

It meast ienfâldich en noflike wize. Op it stuit, wiskundige analyze kin opskeppe hiel wiidweidige tabellen, dy't stavere út de basis formule fan indefinite integrals. Mei oare wurden, der binne templates ôflaat oant jo en jo kinne allinnich mar profitearje fan harren. Hjir is de list fan 'e wichtichste tabel posysjes, dat werjûn wurde kin hast alle bygelyks, hat in oplossing:

• ∫0dy = C, dêr't C - konstante;
• ∫dy = y + C, dêr't C - konstante;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, dêr't C - in konstante, en n - nûmer oars as ienheid;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, dêr't C - konstante;
• ^{∫e y dy = e y + C} , dêr't C - konstante;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, dêr't C - konstante;
• ∫cosydy = siny + C, dêr't C - konstante;
• ∫sinydy = -cosy + C, dêr't C - konstante;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, dêr't C - konstante;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, dêr't C - konstante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, dêr't C - konstante;
• ∫chydy = ferlegen + C, dêr't C - konstante;
• ∫shydy = chy + C, dêr't C - konstante.

As it nedich is, meitsje in pear stappen liede integrand ta in tabular werjefte en genietsje fan de oerwinning. Foarbyld: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Neffens it beslút is it dúdlik dat der bygelyks in tafel integrand mist multiplier 5. Wy tafoegje it yn parallel mei dizze fermannichfâldigjen troch 1/5 oan algemiene útdrukking net feroarje.

Yntegraasje by Parts

Betink twa funksjes - z (y) en x (y). Se moatte wêze kontinu differentiable op syn domein. Yn ien differinsjaasje eigenskippen wy ha: d (XZ) = xdz + zdx. Yntegraasje beide kanten, wy krije: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Rewriting de ûntstiene fergeliking, wy krije de formule, dy't beskriuwt de metoade fan yntegraasje troch dielen: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Wêrom is it nedich? It feit dat guon fan 'e foarbylden is it mooglik om te ferienfâldigjen, lit ús sizze, te ferminderjen ∫zdx ∫xdz, as de lêste is tichtby de tabular formulier. Ek dizze formule kin brûkt wurde mear as ien kear, foar optimale resultaat.

Hoe oplosse indefinite integrals dizze manier:

• nedich om te berekkenjen ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-E ^2s / 4 + C;

• moat berekkenje ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

It ferfangen fan de fariabele

Dit prinsipe fan oplossen indefinite integrals binne net minder in fraach as de foarige twa, al yngewikkeld. De metoade is as folget: Lit V (x) - de yntegraal fan guon funksje v (x). Yn it barren dat op himsels yntegraal yn Foarbyld slozhnosochinenny komt, is nei alle gedachten om te betize reitsje en gean del it ferkearde paad oplossingen. Om foar te kommen dat dizze praktyk feroaring fan de fariabele x ta z, dêr't de algemiene útdrukking fisueel ferienfâldige behâld fan de z ôfhinklik fan x.

Yn de wiskundige termen, dit is as folget: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), dêr't x = y ( z) - substitúsje. En, fansels, de ynverze funksje z = y ^-1 (x) folslein beskriuwt de relaasje en de relaasje fan 'e fariabelen. Wichtige notysje - de differinsjaaloperator dx needsaaklikerwize ferfongen wurde troch in nije differinsjaaloperator dz, sûnt de feroaring fan fariabele yn 'e ûnbepaalde yntegraal giet ferfanging dat oeral, net allinne yn' e integrand.

foarbyld:

• moatte fine ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) DS

Tapasse de wiksel z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Dan dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) DS <=> (s + 1) ds = dz / 2. Dêrtroch de folgjende útdrukking, dat is hiel maklik om te berekkenjen:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• Jo moatte fine it yntegraal ∫2 ^s e ^s dx

Oplosse de rewrite yn de folgjende formulier:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Wy denote troch in = 2e (ferfanging fan it argumint dizze stap is it net, it is noch altyd s), wy jouwe ús skynber komplisearre yntegraal foar Basic tabular form:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Summing in differinsjaaloperator teken

Troch en grutte, dy wize fan indefinite integrals - de twillingbroer fan it prinsipe fan 'e feroaring fan fariabele, mar der binne ferskillen yn it proses fan ynskriuwing. Nim no yn mear detail.

As ∫v (x) dx = V (x) + C en y = z (x), dan ∫v (y) dy = V (y) + C.

Tagelyk moatte wy net ferjitte de triviale yntegraal transformaasjes, ûnder hokker:

• dx = d (x + a), en wêrby't - eltse konstante;
• dx = (1 / a) d (bile + b), dêr't in - konstante wer, mar net nul;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

As wy beskôgje it algemiene gefal dêr't wy berekkene it ûnbepaalde integral, foarbylden kinne wurde subsumed ûnder de algemiene formule w '(x) dx = dw (x).

foarbylden:

• moatte fine ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

online help

Yn guon gefallen, de skuld fan dat jo wurden of gemaksucht, of in dringende needsaak, kinne jo gebrûk meitsje fan de online prompts, of leaver, mei in rekkenmasine indefinite integrals. Nettsjinsteande de skynbere kompleksiteit en kontroversjeel karakter fan 'e integrals, it beslút is ûnder foarbehâld fan harren spesifike algoritme, dat is basearre op it prinsipe fan "as jo net ... dan ...".

Fansels, in bysûnder yngewikkelde foarbylden fan sa'n rekkenmasine sil net baas, omdat der binne gefallen wêryn in beslút hat te finen in keunstmjittich "twongen" troch ynfiering bepaalde eleminten yn it proses, omdat de resultaten binne dúdlik manieren om te berikken. Nettsjinsteande de kontroversjele karakter fan dizze útspraak, it is wier, as de wiskunde, yn prinsipe, in abstrakt wittenskip, en syn primêre doelstelling beskôget de needsaak om empower de grinzen. Jawis, foar in glêde run-yn de teoryen is tige dreech om te bewegen op en evolve, dus net oannimme dat de foarbylden fan oplossen fan indefinite integrals, dat joech ús - dit is de hichte fan de mooglikheden. Mar werom nei de technyske kant fan de dingen. Op syn minst te kontrolearjen de berekkenings, kinne jo gebrûk meitsje fan de tsjinst dêr't it skreaun is foar ús. As der ferlet is fan automatyske berekkening fan komplekse uteringen, dan se hoege net syn taflecht ta in mear serieus software. Moat betelje oandacht benammen op it miljeu MATLAB.

application

It beslút fan indefinite integrals op it earste each liket hielendal loskeppele fan de wurklikheid, omdat it is dreech om te sjen fan it fanselssprekkend brûken fan it fleantúch. Yndie, streekrjocht brûke se oeral do kinst net, mar se binne in nedich tuskenlizzende elemint yn it proses fan de weromlûking fan de oplossings brûkt yn 'e praktyk. Sa, de yntegraasje fan werom differinsjaasje, dus aktyf meidwaan oan it proses fan it oplossen fergelikingen.
Yn beurt, dy fergelikingen hawwe in direkte ynfloed op it beslút fan de meganyske problemen, trajekt berekkening en termyske conductivity - koartsein, alles dat is it hjoed en foarmjaan fan de takomst. Indefinite integral, foarbylden dêr't wy hawwe sjoen as hjirboppe, mar triviale op it earste eachopslach, as in basis te fieren út mear en mear nije ûntdekkings.