Komplekse getallen. Wearde en Evolution "imazjinêre wearden"

De nûmers - de basis wiskundige objekten nedich foar ferskate berekkeningen en berekkeningen. De set fan natuerlike, integer, rasjonele en ûnferstannich digitale wearden definiearret in mearfâldichheid fan saneamde echte nûmers. Mar der is ek hiel ûngewoane kategory - komplekse getallen definiearre troch René Descartes as "imazjinêre hoeveelheden." En ien fan 'e liedende wiskundigen fan de achttjinde ieu Leonhard Euler foarstelde as oantsjutting foar harren de brief i út it Frânske wurd Imaginäre (tinkbyldige). Wat is de komplekse getallen?

Sa neamd uterings fan de foarm a + bi, dêr't a en b binne echte nûmers, en ik is in digitale yndikator fan bysûndere wearde wêrfan plein is -1. Operaasjes op komplekse getallen wurde útfierd troch deselde regels as de ferskate wiskundige operaasjes op polynomials. Dizze wiskundige kategory hat gjin fertsjintwurdigje de resultaten fan alle mjittingen of berekkenings. Want dat is hiel genôch echte nûmers. Wêrom, dan, do se nedich?

Komplekse getallen as in wiskundige begryp, nedich fanwege it feit dat guon fergelikingen mei echte coefficients hawwe oplossings op it mêd fan 'e "gewoane" nûmers. Dêrom, om útwreidzje de wurkingssfear fan it oplossen fan ongelijkheden ûntstienen de needsaak om te yntrodusearje nije wiskundich kategoryen. Komplekse getallen dy't benammen teoretyske abstract it mooglik te lossen dizze fergelikingen as ² x 1 = 0. It wurdt opmurken dat, nettsjinsteande har skynber formaliteit dizze kategory nûmers aktyf en in protte brûkt, bygelyks, foar ferskillende praktyske oplossings problemen fan elasticiteit teory, elektrotechnyk, aerodynamics en hydromechanics, atomic natuerkunde en oare wittenskiplike dissiplines.

Module en it argumint fan in kompleks getal brûkt yn 'e bou tsjinstregelings. Dizze foarm fan skriuwen neamd trigonometric. Boppedat, de geometryske ynterpretaasje fan dy nûmers hat fierder útwreide de wurkingssfear fan harren programma. It waard mooglik te brûken se foar in ferskaat oan it berekkenjen fan map.

Wiskunde hat komme in lange wei fanút de ienfâldige natuerlike getallen te komplekse yntegrale systemen en harren funksjes. Op dit ûnderwerp kin skriuwe in apart tutorial. Hjir sjogge wy nei krekt in pear fan de evolúsjonêre aspekten fan de getalteory, meitsje dúdlik alle histoaryske en wittenskiplike eftergrûn reedlikens fan dit wiskundige kategory.

Gryksk wiskundige beskôge "wier" allinnich natuerlike getallen, dat kin brûkt wurde om te berekkenjen neat. Al yn it twadde millennium foar Kristus. e. de âlde Egyptners en de Babyloaniërs yn in ferskaat oan praktyske berekkeningen aktyf brûkt fraksjes. De folgjende wichtige mylpeal yn 'e ûntwikkeling fan de wiskunde wie it optreden fan negative getallen yn it âlde Sina twahûndert jier foar ús jiertelling. Se waarden ek brûkt troch de âlde Grykske wiskundige Diofantus, dy't wisten de regels fan de ienfâldige operaasjes oan har. Mei de help fan negative getallen, waard it mooglik te beskriuwen de ferskate feroarings yn wearden, net allinnich yn 'e positive fleanmasine.

Yn de sande ieu nei Kristus, dat wie dúdlik fêstlein dat de fjouwerkante woartels fan positive getallen altyd hawwe twa wearden - neist posityf, ek negatyf. Fan dat lêste te ekstrahearje de fjouwerkantswoartel werom fan de wenstige algebraic metoaden fan dy tiid waard tocht ûnmooglik: der is gjin sokke wearde fan x ta x ² = ─ 9. Foar in lange tiid dat die der net ta. It wie mar yn 'e sechstjinde ieu, doe't der wienen en binne aktyf studearre kubike fergelikingen, de needsaak om te ekstrahearje de fjouwerkantswoartel werom fan negative getallen, lykas yn' e formule foar de oplossing fan dy uteringen befettet net allinnich de kubus, mar ek it plein woartels.

Dit formule is robúst, as de fergeliking hat by de measte ien echte woartel. Yn it gefal fan 'e oanwêzigens yn de fergeliking fan trije echte woartels foar harren cure waard helle mei it oantal negative wearde. It docht bliken dat de wei omheech fûn rint troch de trije woartels fan it ûnmooglik út it stânpunt fan de wiskunde fan de operaasje tiid.

Foar in útlis fan it úteinlike paradoks Italjaansk algebraists J. Cardano waard útsteld de yntroduksje fan in nije kategory fan 'e ûngewoane karakter fan' e nûmers, dy't neamd kompleks. Ik ôf wat er Cardano beskôge se nutteleas en die alles om foar te kommen tapassen se oan de foarstelde wiskundige kategoryen. Mar al yn 1572 in boek ferskynde in oar Italjaansk algebraist Bombelli, dat wienen neiere regels foar operaasjes op komplekse getallen.

Yn de hiele santjinde ieu bleau de diskusje fan de wiskundige karakter fan 'e gegevens nûmers en mooglikheden fan harren geometryske ynterpretaasje. Ek stadichoan ûntwikkele en ferbettere technyk fan wurkjen mei harren. En oan it begjin fan de 17e en 18e ieu, it algemiene teory fan komplekse getallen wie makke. In enoarme bydrage oan de ûntwikkeling en ferbettering fan de teory fan de funksjes fan komplekse fariabelen waard yntrodusearre Russysk en Sovjet wittenskippers. N. I. Muskhelishvili dwaande mei syn tapassing oan 'e problemen fan' e teory fan elastisiteit, Keldysh en Lavrentiev komplekse getallen binne brûkt op it mêd fan hydro- en aerodynamics, en Vladimir Bogolyubov - yn kwantum fjild teory.