Echte getallen en harren eigenskippen

Pytagoras bewearde dat it nûmer is it fûnemint fan 'e wrâld op in par mei de grutte eleminten. Plato leaude dat it oantal keppelings it ferskynsel en it noumenon, helpt te witten, te woegen en te lûken konklúzjes. Arithmetic komt fan it wurd "arifmos" - it nûmer, it útgongspunt yn de wiskunde. It is mooglik te beskriuwen eltse foarwerp - út de legere oan apple abstrakte spaasjes.

Needs as in ûntwikkeling faktor

Yn 'e earste fazen fan de ûntwikkeling fan de mienskip it ferlet fan minsken ûnfrije troch de needsaak om te hâlden skoare - .. Ien tas fan nôt, twa nôten tas, ensfh Om dogge dit, dat wie natuerlik getal, de dea wêrfan is in ûneinige rige fan positive integers N.

Letter, de ûntwikkeling fan de wiskunde as wittenskip, it wie nedich yn de spesifike mêd fan integers Z - It omfiemet negative wearden en nul. Syn optreden op de binnenlandse nivo, dat waard terge troch it feit dat de oarspronklike boekhâlding moast ien of oare wize fêst de skulden en ferliezen. Op in wittenskiplik nivo, negative getallen hawwe makke it mooglik om oplosse ienfâldige lineêre fergelikingen. Under oare dingen, is it no mooglik om ôfbylding in triviale koördinatestelsel, dws. A. Der wie in punt fan de referinsje.

De folgjende stap wie de needsaak om te fieren fraksjonele nûmers, sûnt wittenskip net stean stil, hieltyd mear nije ûntdekkings easke in teoretyske basis foar in nij push groei. Sa wie der in fjild fan rasjoneel getallen Q.

Ta beslút, net langer foldogge oan de easken fan ferstannigens, omdat alle nije befinings easkje ferantwurding. Der wiene in fjild fan echte getallen R, it wurk fan Euklides syn incommensurability fan beskate hoeveelheden fanwege harren ûnferstân ferbean. Dat is, de âlde Grykske wiskundige gepositioneerd net allinnich getal as in konstante, mar as in abstrakt wearde dy't wurdt karakterisearre troch de ferhâlding fan incommensurable magnitudes. Fanwege it feit dat der echte sifers, 'wy seagen it ljocht "wearden lykas" pi "en" e ", sûnder hokker moderne wiskunde koenen net hawwe nommen plak.

De finale ynnovaasje wie in kompleks getal C. It antwurde in rige fragen en wjerlein earder ynfierd postulates. Troch de flugge ûntwikkeling fan de algebra resultaat wie foarsisber - mei echte sifers, it beslút fan in protte problemen wie net mooglik. Bygelyks, tanksij de komplekse getallen stie út string teory en gaos útwreide fergelikingen fan hydrodynamics.

Set Teory. cantor

It begryp ûneinichheid hat altyd soarge kontroverse, sa't it wie ûnmooglik om bewize of weerlezen. Yn 'e kontekst fan de wiskunde, dat wurdt eksploitearre strikt ferifiearre postulates, it manifestearre him meast fansels, it mear dat de teologyske aspekt noch woegen yn wittenskip.

Lykwols, troch it wurk fan de wiskundige Georg Cantor alle tiid foel yn plak. Hy bewiisde dat it ûneinige sets is der in ûneinige set, en dat it fjild R grutter is as it fjild N, lit sawol fan harren en hawwe gjin ein. Yn 'e midden fan' e XIX ieu, syn ideeën iepenbier neamd ûnsin en in misdie tsjin klassike ûnferoarlike canons, mar de tiid sil sette alles yn syn plak.

Basiseigenskippen fan it fjild R

Werklike oantallen net allinne hawwe deselde eigenskippen as de podmozhestva dat se ûnder oaren, mar wurde oanfolle mei oare masshabnosti grûn fan syn eleminten:

• Zero R. bestiet en heart by it fjild c + = c 0 foar eltse c fan R.
• Nul bestiet en heart by it fjild R. c x 0 = 0 foar eltse c fan R.
• De ferhâlding c: d doe't d ≠ 0 bestiet en is jildich foar eltse c, d fan R.
• Field R oardere, i.e. as c ≤ d, d ≤ c, dan c = d foar eltse c, d fan R.
• Oanfolling op fjild R is commutative, i.e. c + d = d + c, foar elts c, d fan R.
• Flere yn fjild R is commutative, i.e. x c x d = d c foar alle c, d fan R.
• Oanfolling op fjild R is assosjatyf i.e. (c + d) + f = c + (d + f) foar eltse c, d, f of R.
• Flere yn fjild R is assosjatyf i.e. (c x d) x f = c x (d x f) foar eltse c, d, f of R.
• Foar eltse oantal fjild R tsjinoer ta dat dêr, sa dat c + (c) = 0, dêr't c, c út R.
• Foar eltse oantal fjild R bestiet har omkearde, sa dat c x c ^-1 = 1 dêr't c, c ^-1 of R.
• Unit bestiet en heart by R, sadat de c x 1 = c, foar eltse c fan R.
• It hat de macht wet distribúsje, sadat c x (d + f) = c x d + c x f, foar elts c, d, f of R.
• De R fjild is nul is net lyk oan ienheid.
• Field R is oergonklik: as c ≤ d, d ≤ f, dan c ≤ f foar hokker c, d, f of R.
• Yn de R en oanfolling folchoarder oare ferbynt: as c ≤ d, dan c + f ≤ d + f foar alle c, d, f of R.
• Yn de folchoarder fan R en flere linked: as 0 ≤ c, 0 ≤ d, dan 0 ≤ c x d foar eltse c, d fan R.
• As negative en positive echte getallen binne trochgeande, i.e., foar elts c, d fan R f, der bestiet út R, dat c ≤ f ≤ d.

Module fjild R

De echte getallen befetsje sa'n ding as in module. Oanwiisd is as de | F | foar hokker f in R. | F | = F, as 0 ≤ f en | f | = -f, as 0> f. As wy beskôgje it module as in geometryske wearde, it is in ôfstân - dat docht der net ta, "trochjûn" jimme as nul yn it negatyf ta de positive of foarút.

Kompleks en echte nûmers. Wat binne de oerienkomsten en ferskillen?

Troch en grut, komplekse en echte getallen - binne se ien en itselde, útsein dat it earste lid fan de tinkbyldige ienheid i, it plein wêrfan is gelyk oan -1. Eleminten fields R en C kin wurde fertsjintwurdige troch de folgjende formule:

• c = d + f x i, dêr't d, f hearre by it fjild R, en i - tinkbyldige ienheid.

Om krijen de C fan R f yn dit gefal gewoan oannommen dat it nul, dat wol sizze, der is mar de echte diel fan it getal. Omdat it mêd fan komplekse getallen hat deselde funksje set as it mêd fan de echte, f x i = 0 as f = 0.

Mei groetnis praktyske ferskillen, bygelyks op it mêd R kwadratyske fergeliking kin net oplost wurde as de discriminant negatyf is, wylst de C fak net oplizze dizze beheining troch de ynfiering fan de tinkbyldige ienheid i.

resultaten

"Bricks" fan axioms en postulates op hokker ta basis wiskunde, net feroarje. Op guon fan harren as gefolch fan de ferheging fan ynformaasje en it ynfieren fan nije teoryen pleatst de neikommende "tichelstien", dat yn 'e takomst mooglik wurden de basis foar de folgjende stap. Bygelyks, natuerlike getallen, nettsjinsteande it feit dat se in bepaald berik fan 'e echte fjild R, net ferlieze har relevânsje. It is foar harren de basis fan alle elemintêre rekkenkunde, dat begjint mei de kennis fan in man fan frede.

Ut in praktyske eachpunt, de echte getallen sjogge as in rjochte line. It is mooglik om te kiezen fan in rjochting, te identifisearjen it ûntstean en pik. Direct bestiet út in ûneinige oantal punten, elk fan dat oerienkomt mei ien wiere tal, nettsjinsteande oft of net rasjoneel. Ut de beskriuwing it is dúdlik dat wy praten oer it begryp, dat basearre is wiskunde yn it algemien, en wiskundige analyze yn it bysûnder.