Russell syn paradoks: basis ynformaasje, foarbylden, formulearring

Russell paradoks is twa solidaire Ingelsk interdependent logyske antinomy.

Twa foarmen fan Russell syn paradoks

De meast faak besprutsen foarm fan in contradictio in logika sets. Guon fan 'e set liket te wêzen fan de leden sels, en oaren - nee. De set fan alle sets is sels in set, sadat it liket dat it ferwiist nei himsels. Null of leech, lykwols, moat net wêze in lid fan himsels. Dêrom, de dea fan alle sets, as nul is net opnommen yn himsels. De paradoks ûntstiet wannear't de fraach oft de dea fan in lid fan himsels. Dat is mooglik as en allinne as it net.

In oare foarm paradoks is in tsjinspraak oangeande eigenskippen. Guon eigenskippen, liket te ferwizen nei de side sels, wylst oaren binne net. De wenning oan de eigendom sels is in eigendom, wylst it pân wurde it in kat net. Tink oan it eigendom fan it hawwen fan in eigenskip dy't net hearre ta him. as it tapast op himsels? Wer, ien fan de útgongspunten wêze moat it tsjinoerstelde. De paradoks waard neamd ta eare fan Bertrand Russell (1872-1970), dy't ûntduts dat yn 1901.

ferhaal

Iepening Russell barde ûnder syn wurk op "Prinsipes fan de Wiskunde". Hoewol't ûntduts er de paradoks selsstannich, der is bewiis dat oare wiskundigen en ûntwikkelers van set teory, ynklusyf Ernst Zermelo en David Hilbert, wienen bewust fan 'e earste ferzje fan tsjinstellings foar him. Russell, lykwols, wie de earste dy't besprutsen yn detail de paradoks yn syn publisearre wurken, earst besocht te formulearjen oplossings en de earste dy't folslein wurdearje syn betsjutting. In hiele haadstik fan "Utgongspunten" wie tawijd oan diskusje oer dizze kwestje, en de applikaasje waard wijd oan 'e teory fan' e types, dy't Russell foarstelde as oplossing.

Russell ûntduts de "paradoks fan 'e liar', sjoen Cantor syn set teory dat seit dat de krêft fan in set is lytser as de dea fan syn subsets. Teminsten yn it domein soe wêze safolle subsets as der eleminten deryn, as ien bepaald berik fan elk elemint is ynsteld befettet allinnich dit elemint. Fierders Cantor bewiisde dat it oantal eleminten kin net lyk wêze oan it oantal subsets. As der wienen deselde getal, it soe moatte te bestean ƒ eigenskip dat soe werjaan eleminten op har subsets. Tagelyk wurde kin oantoand dat dit is ûnmooglik. Guon items kinne wurde werjûn op de funksje ƒ subsets dy't befetsje se, wylst oaren meie net.

Tink oan it bepaald berik fan eleminten dy't net hearre ta harren bylden, dêr't se werjaan ƒ. It is sels in bepaald berik fan eleminten, en dêrom, ƒ funksje soe werjaan it op in elemint yn it domein. It probleem is dat dan de fraach ûntstiet as nei oft dit elemint heart ta de dielsamling dêr't it toant ƒ. Dit is allinne mooglik as it net hearre. Russell syn paradoks kin sjoen wurde as in foarbyld fan 'e deselde line fan redenearring, allinne ferienfâldige. Wat is mear - de sets of subsets fan de set? It soe lykje dat der moat mear sets, lykas alle subsets fan 'e sets sels. Mar as Cantor syn stelling is wier, dan moat der mear subsets. Russell beskôge gewoan werjaan sets op harsels en tapast kantoriansky oanpak sjoen de set fan al dy eleminten, bûten in set dêr't se wurde werjûn. Showing Russell wurdt de dea fan alle sets, in net.

flater Frege

"De paradoks fan it liar" hie in djippe ynfloed op de histoaryske ûntwikkeling fan de teory fan sets. Hy toande dat it konsept fan de universele set is tige problematysk. Er ek fraachtekens it idee dat foar eltse definiearre betingst of predikaat kin oannimme it bestean fan in mearfâldichheid fan allinnich dy saken dy't sêdzje dizze tastân. Opsje paradoks oangeande de eigenskippen - in natuerlike útrin nei it ferzje sets - grutbrocht serieuze twifels ha, oft it mooglik is om te pleitsjen oer it doel bestean fan in pân of in universele oerienstimming nei eltse bepaald troch it betingst, of predikaat.

Meikoarten wurde de tsjinstellingen en problemen yn it wurk fan 'e logisy oanbelanget: waarden fûn, filosofen en wiskundige dy't makke ha ferlykbere oannames. Yn 1902, Russell fûn dat in fariant fan 'e paradoks kin útdrukt wurde yn in logyske systeem, ûntwikkele yn Volume I fan Gottlob Frege syn "Grûnslaggen fan rekkenkunde", ien fan' e wichtichste wurken op 'e logika fan' e lette XIX - begjin XX ieu. Yn de filosofy fan Frege protte opfette as in "taheaksel" of "wearde-range" konsept. De begripen binne it tichtst by dy fan strykt. Se wurde ferwachte te bestean foar eltse jûn betingst of predikaat. Sa, der is in konsept fan in set, dy't net falle ûnder syn defining konsept. Der is ek in klasse definiearre troch dit begryp, mar it is ûndergeskikt oan it bepalen har konsept allinne as it net.

Russell skreau nei Frege oer dit konflikt yn juny 1902 Correspondence útgroeid ta ien fan de meast spannende en praat oer yn 'e skiednis fan' e logika. Frege fuortendaliks erkende de jammerdearlik gefolgen fan de paradoks. Hy murk, lykwols, dat de ferzje fan de kontroverse oer de eigenskippen yn syn filosofy waard oplost troch ûnderskied tusken de begripen fan nivo.

Frege syn begryp opfette as de oergong fan 'e arguminten fan' e funksje te Wier. De begripen earste nivo dêrby as arguminten 'e objekten fan' e twadde nivo konsepten nimme as arguminten oan de funksjes, ensafuorthinne. Sa, it begryp kin nea nimme sels as in argumint, en besletten lei yn termen fan 'e eigenskippen kinne net formulearre. Dochs sets, útwreiding of begripen Frege opfette as ferwizing nei deselde logyske soarte as dy fan alle oare foarwerpen. Dan foar eltse set is der in fraach oft it falt ûnder it begryp fêst dat.

Doe't Frege, Russell krige de earste brief, de twadde bondel fan "Grûnslaggen fan arithmetic" is al klear print. Hy waard twongen om fluch tariede in programma dat jout in antwurd op de paradoks fan Russell. Foarbylden Frege befettet in oantal mooglike oplossings. Mar hy kaam ta de konklúzje te weaken it begryp fan 'e abstraksje set yn in logyske systeem.

Yn it orizjineel, wie it mooglik om te konkludearje dat it foarwerp heart ta de dea oft en allinne as it falt binnen it begryp, bepaalt it. De wizige systeem kin allinne konkludearje dat it foarwerp heart ta de dea oft en allinne as it falt binnen it begryp bepalen fan in mearfâldichheid, mar net ynsteld yn kwestje. Russell syn paradoks ûntstiet.

De oplossing, lykwols, is net alhiel tefreden mei Frege. En dit wie de reden. Ferskate jierren letter, mear komplekse foarm fan 'e tsjinspraak is fûn foar it fannijs hifke systeem. Mar noch foar dit barde, Frege ferlitten syn besluten en lykje te komme ta de konklúzje dat syn oanpak wie gewoan unworkable, en dat logika sil moatte dwaan sûnder ien fan 'e sets.

Noch oaren binne útsteld, relatyf mear sukses alternative oplossings. Dy wurde besprutsen hjirûnder.

De teory fan typen

It waard opmurken boppe dat Frege wie in adekwate reaksje op de paradoksen fan set teory yn 'e ferzje formulearre foar eigenskippen. Frege syn antwurd waard foarôfgongen troch de meast faak besprutsen oplossing foar dizze foarm fan paradoks. It is basearre op it feit dat de eigenskippen binne ûnderwurpen oan ferskillende types en hokker type eigendom is noait itselde as de items dêr't it ferwiist.

Sa, net sels de fraach ûntstiet, oft it besit is fan tapassing foar himsels. Logyske taal, dy't skiedt de eleminten fan sokke in rangoarder, mei help fan de teory fan typen. Hoewol't it al brûkt wurdt troch Frege, de earste kear it is folslein útlein en ûnderboud Russell yn de bylage mei de "prinsipe". De teory fan typen wie mear folslein as it ûnderskied fan Frege nivo. Se dielde eigenskippen binne net allinne ferskillende soarten fan 'e logika, mar ek set. type teory te lossen de tsjinspraak yn 'e paradoks fan Russell folget.

Om te wêzen in philosophically adekwaat, de fêststelling fan 'e teory fan' e types fan eigenskippen fereasket de ûntwikkeling fan 'e teory fan' e aard fan 'e eigenskippen sadat koe ferklearje wêrom't se kin net tapast oan harsels. Op it earste each, it makket logysk om predikaat harren eigen pân. It eigendom fan wêzen self-identiteit, it soe lykje, it is ek in sels-identiteit. It pân liket te wêzen fan in moaie plesierich. Yn 'e selde wize, blykber, it liket falske om te sizzen dat it eigendom fan twadde kat is in kat.

Dochs, ferskate tinkers rjochtfeardige de ferdieling fan ferskillende typen. Russell sels joech ferskillende ferklearrings op ferskate kearen yn syn karriêre. Foar syn diel, De reedlikens foar de ôfskieding fan 'e ûnderskate konsepten fan Frege nivo komt út syn teory fan unsaturated konsepten. Begripen as funksje, yn essinsje, binne ûnfolslein. Te bieden wearde, se moatte in argumint. Jo kinne net samar ien konsept te predikaat it konsept fan itselde type, om't it noch altyd freget syn argumint. Bygelyks, hoewol't it mooglik is om te nimmen de fjouwerkantswoartel werom fan de fjouwerkantswoartel werom fan in nûmer, kinne jo net samar brûke in fjouwerkant woartel funksje oan it plein woartel funksje en krije in resultaat.

About konservatisme eigenskippen

In oare mooglike oplossing is de paradoks eigenskippen negaasje eigenskippen bestean ûnder eltse jûn omstannichheden, of in goed foarme predikaat. Fansels, as immen eschews metafysysk eigenskippen fan beide objektive en selsstannige eleminten as gehiel, as wy nimme nominalism paradoks kin foarkommen wurde hielendal.

Lykwols, om oplosse it antinomy hoecht net sa ekstreem. Logika hegere oardering systemen ûntwikkele Frege en Russell, befetsje wat hjit in konseptuele prinsipe, neffens dêr't elk iepen formules nettsjinsteande hoe kompleks bestiet as ûnderdiel fan in pân of konsept bygelyks, allinne dy items dy't oerienkomme mei de formule. Se tapast oan de attributen fan alle mooglike tal betingsten of predikaten, gjin saak hoe kompleks sy wienen.

Dochs, wie it mooglik om te nimmen in mear strang metafysika eigenskippen, it jaan fan it rjocht ta it doel bestean fan ienfâldige eigenskippen, ynklusyf, bygelyks, lykas reade kleur, berettens, freonlikens en ensfh. D. Jo kinne ek litte dizze eigenskippen fan tapassing op harsels, lykas freonlikens kin wêze kind.

En deselde status foar komplekse attributen kinne wurde wegere, bygelyks, sokke "eigenskippen" as hawwen santjin-hollen, wurde-skreaun ûnder-wetter en soksoarte. D. Yn dit gefal, nee foarbeskaaide betingst net foldocht oan 'e eigendom, begrepen as apart besteande elemint, dat hat syn eigen eigenskippen. Sa kin men ûntkenne it bestean fan simpele eigenskippen be-eigendom-dat-net-tapast-to-sels en foarkomme paradoks troch it oanbringen fan mear konservatyf metafysyske eigenskippen.

Russell syn paradoks: de oplossing

Boppe it waard opmurken wurde dat oan de ein fan syn libben Frege hielendal verlaten 'e logika fan sets. Dit, fansels, ien oplossing foar de antinomy yn 'e foarm fan sets: in ienfâldige ûntkennen fan it bestean fan sokke eleminten as gehiel. Dêrneist binne der ek oare populêre karren, de basis dêrfan wurde werjûn hjirûnder.

De teory foar in soad soarten

Lykas sein earder, Russell spile foar in mear folsleine teory fan typen, wa soe diele net allinnich de eigenskippen of begripen oan ferskillende types, mar ek set. Russell shared set op in mearfâldichheid fan ôfsûnderlike ienheden, in mearfâldichheid fan sets fan aparte foarwerpen, ensfh De sets fan foarwerpen waarden net sjoen, en in mearfâldichheid fan sets - .. Sets. In soad nea genoaten fan it type, lit jo hawwe as lid fan himsels. Dêrom is der gjin set fan alle sets dy't gjin Lid fan har eigen, want foar hokker set fan de fragen oer de fraach oft it is as lid, is sels in skeining type. Wer, de útjefte hjir is te ferklearjen fan de metafysika sets te ferklearjen de filosofyske fûneminten fan 'e yndieling yn soarten.

stratification

Yn 1937, V. V. Kuayn hat oanbean in alternative oplossing, op in wize te ferlykjen mei de teory fan de typen. Basis ynformaasje oer it binne.

Skieden elemint sets en oaren. Made sadat de ûnderstelling fan it finen fan in mearfâldichheid altyd net goed binne of sinleas. Sets kinne allinnich wurde levere as defining harren betingsten binne gjin violation type. Sa, hwent Quine, de útdrukking "x is gjin lid fan x" is de betsjuttingsfolle útspraak hat net automatysk it bestean fan 'e set fan alle eleminten x foldwaning jaan dit betingst.

Yn dit systeem in set bestiet foar guon iepen formule A oft en allinne as it is stratified, t. E. As de fariabelen binne tawiisd positive integers sa dat foar eltse karakteristike fynplak fan in mearfâldichheid fan foarôfgeand oan it fariabele wurdt tawiisd opdracht ienheid lytser as de fariabele, folgjende nei him. Dizze blokken Russell syn paradoks, sûnt de formule brûkt om te bepalen it probleem set, der is itselde foar en nei de fariabele lidmaatskip teken sadat it unstratified.

Mar it hat noch fêst te stellen oft de resultearjende systeem, dêr't Quine neamd "Nije Grûnslaggen fan wiskundige logika" konsekwint.

ôfwizing

In hiel oare oanpak wurdt nommen yn 'e teory fan Zermelo - Fraenkel (OEM). Hjir, te, set in limyt op it bestean fan sets. Ynstee dêrfan, e buert fan it "top-down" fan Russell en Frege, dy't yn earste ynstânsje tocht dat foar alle begripen, eigenskippen, of betingsten meie foarstelle it bestean fan 'e set fan alle dingen mei dit eigendom of te moetsjen sa'n tastân, in ZF-teory, alles begjint "fan ûnderen op."

Yndividuele eleminten fan 'e lege set en foarmje in set. Dêrom, yn tsjinstelling ta eardere systemen en Russell Frege FIT heart net by de universele set dy't omfiemet alle eleminten en sels alle sets. ZF stelt strange grinzen op it bestean fan sets. Kinne bestean allinne dy foar dêr't it mei dúdlik postulearret of hokker kinne formulearre wurde troch middel fan werheljende prosessen en sa. D.

Dan, yn stee fan it begryp abstraction naïve set dy't stelt dat in bepaald elemint is opnaam yn 'e set oft en allinne as it foldocht oan de betingsten yn de ôfskieding prinsipe brûkt DF, ôfskieding of "sorting". Yn stee fan útgeande fan it bestean fan 'e set fan alle eleminten dy't sûnder útsûndering satisfy in bepaalde betingst, foar eltse besteande set Aussonderung jout it bestean fan in bepaald berik fan alle eleminten yn de orizjinele set dat de sin fan it betingst.

Dan komt abstraction prinsipe: as de dea A bestiet, dan, foar alle x yn A, x heart ta de dielsamling A, dy't voldoet it betingst oft en allinne as x voldoet it betingst C. Dizze oanpak beslút de paradoks Russell, sûnt wy kinne net gewoan oannimme dat is, de dea fan alle sets dy't gjin lid fan harsels.

It hawwen fan in soad sets, kinne jo selektearje of ferdieldheid yn sets, dy't binne yn harsels, en dyselden dy't noch net sa, mar meidat der gjin universele set binne wy net bûn set fan alle sets. Sûnder útgeande fan it probleem stelt Russell tsjinspraak kin net bewiisd.

oare oplossings

Boppedat, der west hawwe lettere útwreidings of oanpassings fan dy oplossings, lykas in foarke-soarte teory fan "Prinsipes fan de Wiskunde" systeem útwreiding "wiskundige logika" Quine, en ek mear resinte ûntwikkelings yn 'e teory fan' e sets, makke Bernays, Gödel en von Neumann. De fraach oft de reaksje op it ûnoplosbere paradoks Bertrand Russell fûn, is noch altyd in kwestje fan debat.